विभाग · 30 प्रश्न · 60 गुण

गणित व सांख्यिकी

12वीपर्यंतचे गणित: बीजगणित, निर्देशक भूमिती, त्रिकोणमिती, संभाव्यता व सांख्यिकी, अंकगणित, संच आणि महत्त्वमापन.

संपूर्ण विभाग, एका चित्रात

इथलं गणित म्हणजे सिद्धांतांची परीक्षा नाही, तर हत्यारांची पेटी आहे. प्रत्येक प्रश्न एवढंच विचारतो: "कोणतं हत्यार वापरायचं, आणि किती पटकन?" सूत्र म्हणजे हत्यार, आणि सोडवलेलं उदाहरण म्हणजे ते हातात कसं धरायचं ते.

अधिकृत अभ्यासक्रम: बीजगणित (Algebra); निर्देशक भूमिती (Co-ordinate Geometry); विकल समीकरणे (Differential Equations); त्रिकोणमिती (Trigonometry); संभाव्यता व सांख्यिकी (Probability and Statistics); अंकगणित (Arithmetic); संच सिद्धांत व फलन (Set Theory and Functions); महत्त्वमापन (Mensuration).

24 पैकी 0 विषय पूर्ण · 96 सराव प्रश्न · गणित: झटपट सराव →

गणित · बीजगणित · विषय 1 / 24

मूलभूत बीजगणित: विस्तार, अवयवीकरण, घातांक

Basic Algebra: Expansion, Factorisation, Indices

पूर्ण झाले म्हणून खूण करा

असं समजा…

शेताचा चौरस तुकडा मोठा करणे

तुमच्या वडिलांचा a मीटर बाजूचा एक चौरस जमिनीचा तुकडा आहे. त्यांनी पूर्वेच्या बाजूने b मीटर रुंदीचा एक पट्टा विकत घेतला आणि उत्तरेच्या बाजूनेही तसाच एक. आता तुकडा पुन्हा चौरसच झाला, फक्त त्याची बाजू a + b झाली. नव्या जमिनीतून फिरून मोजणी करा: जुना चौरस (a²), a × b मापाचे दोन लांब पट्टे, आणि दोन्ही पट्टे जिथे मिळतात त्या कोपऱ्यातला एक छोटा चौरस (b × b). म्हणून (a + b)² = a² + 2ab + b². तुम्ही फक्त a² + b² लिहिलं, तर पैसे मोजून घेतलेले ते दोन पट्टे तुम्ही विसरलात!

अवयवीकरण (Factorisation) हे याच्या उलट काम आहे. सातबाऱ्याच्या उताऱ्यावर फक्त एकूण क्षेत्रफळ दिलेलं असतं; कोणती लांबी आणि कोणती रुंदी गुणल्यावर ते येतं हे तुम्हाला शोधायचं असतं. विस्तार (Expansion) जमिनीचे तुकडे पाडतो; अवयवीकरण ते तुकडे पुन्हा जोडून एक आयत बनवतं.

रोजच्या जीवनात	परीक्षेच्या विषयात
a बाजूचा जुना चौरस तुकडा	a²
पूर्व आणि उत्तर बाजूचे दोन नवे पट्टे	2ab
दोन पट्टे जिथे मिळतात तो कोपऱ्यातला छोटा तुकडा	b²
मोठ्या झालेल्या चौरस जमिनीचं एकूण क्षेत्रफळ	(a + b)² = a² + 2ab + b²
सातबाऱ्यावरच्या एकूण क्षेत्रफळावरून लांबी × रुंदी शोधणे	अवयवीकरण (Factorisation)

संकल्पना

विस्तार (Expansion) म्हणजे कंस सोडवून गुणाकार करणे: पहिल्या कंसातील प्रत्येक पद दुसऱ्या कंसातील प्रत्येक पदाने गुणायचे. खाली दिलेल्या प्रमाणित नित्यसमानता (Identities) म्हणजे एकदा करून पाठ केलेले विस्तारच आहेत, म्हणजे परीक्षेत ते पुन्हा करत बसावे लागत नाहीत.

अवयवीकरण (Factorisation) हे उलट काम आहे: दिलेली राशी गुणाकाराच्या रूपात लिहिणे. नेहमी याच क्रमाने प्रयत्न करा: (1) सामाईक अवयव बाहेर काढा, (2) a² − b² सारखी एखादी नित्यसमानता लागू होते का ते पाहा, (3) वर्गराशी असेल तर मधले पद फोडा.

घातांक (Indices) यांचे काही नियम आहेत, आणि ते सगळे “aⁿ म्हणजे a ला n वेळा गुणणे” या एकाच कल्पनेतून येतात. CET मधील घातांकाचे बहुतेक प्रश्न, प्रत्येक संख्या एकाच पायाचा घात म्हणून लिहिली की सोपे होतात (उदा. 4 = 2², 8 = 2³, 27 = 3³).

महत्त्वाचे मुद्दे व सूत्रे

(a ± b)² = a² ± 2ab + b²; a² − b² = (a − b)(a + b)
(a ± b)³ = a³ ± 3a²b + 3ab² ± b³ = a³ ± b³ ± 3ab(a ± b)
a³ + b³ = (a + b)(a² − ab + b²); a³ − b³ = (a − b)(a² + ab + b²)
(a + b + c)² = a² + b² + c² + 2(ab + bc + ca)
जर a + b + c = 0, तर a³ + b³ + c³ = 3abc
aᵐ × aⁿ = aᵐ⁺ⁿ; aᵐ ÷ aⁿ = aᵐ⁻ⁿ; (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ; (ab)ⁿ = aⁿbⁿ
a⁰ = 1 (a ≠ 0); a⁻ⁿ = 1/aⁿ; a^p/q = (a चे q-वे मूळ)^p
x + 1/x = k ⇒ x² + 1/x² = k² − 2 आणि x³ + 1/x³ = k³ − 3k

सोडवलेले उदाहरण

जर x + 1/x = 5, तर x³ + 1/x³ काढा.

उकल पाहा

(a + b)³ = a³ + b³ + 3ab(a + b) वापरा; येथे a = x, b = 1/x, म्हणून ab = 1.
(x + 1/x)³ = x³ + 1/x³ + 3(x + 1/x), म्हणून 125 = x³ + 1/x³ + 15.
x³ + 1/x³ = 125 − 15.

उत्तर: 110

परीक्षेसाठी झटपट युक्ती

पर्यायांमध्ये बीजगणितीय राशी असतील, तर प्रश्नात आणि प्रत्येक पर्यायात x = 1 किंवा x = 2 सारखी छोटी संख्या ठेवा. ज्या पर्यायातून तीच संख्या येते, तेच उत्तर. अवयवीकरण बरोबर आहे की नाही हे पाच सेकंदांत तपासता येते.

नेहमीच्या चुका

(a + b)² म्हणजे a² + b² नव्हे. मधले पद 2ab हेच सर्वात जास्त विसरले जाते.
aᵐ + aⁿ एकाच घातात एकत्र करता येत नाही. एकाच पायाचा गुणाकार किंवा भागाकार असेल तरच घात मिळवले किंवा वजा केले जातात.
a⁻ⁿ ऋण नसतो: 2⁻³ = 1/8, ही धन संख्या आहे.

सराव · प्रश्न परीक्षेप्रमाणे इंग्रजीत, खाली मराठी अर्थ · उत्तर तपासण्यासाठी पर्याय निवडा

Q1. If a + b = 7 and ab = 10, then a² + b² equals:

जर a + b = 7 आणि ab = 10, तर a² + b² किती?

Q2. If 2^{x + 3} = 32^{x − 1}, then x equals:

जर 2^{x + 3} = 32^{x − 1}, तर x किती?

Q3. One factor of x³ − 8 is:

x³ − 8 चा एक अवयव कोणता?

Q4. The value of 27^2/3 + 16^3/4 − 32^1/5 is:

27^2/3 + 16^3/4 − 32^1/5 ची किंमत किती?

↑ विषयसूचीकडे परत

गणित · बीजगणित · विषय 2 / 24

वर्गसमीकरणे

Quadratic Equations

पूर्ण झाले म्हणून खूण करा

असं समजा…

वर फेकलेला क्रिकेटचा चेंडू

क्रिकेटचा चेंडू सरळ वर फेका. त्याची उंची वाढते, सर्वात वर एक क्षण थबकते आणि मग चेंडू खाली येतो. वेळेच्या विरुद्ध उंचीचा आलेख काढला, तर कमानीसारखा वक्र मिळतो: परवलय (Parabola). ax² + bx + c = 0 हे समीकरण एकच प्रश्न विचारते: कोणत्या वेळी उंची शून्य असते? साधारणपणे असे दोन क्षण असतात (फेकताना आणि झेलताना), कधी एकच (चेंडू जमिनीला नुसता टेकतो), आणि कधी एकही नाही (तुम्ही गच्चीवरून फेकला आणि आलेखात तो रस्त्याच्या पातळीपर्यंत कधी येतच नाही). समीकरण न सोडवता यांपैकी कोणती स्थिती आहे, हे विवेचक (Discriminant) सांगतो.

रोजच्या जीवनात	परीक्षेच्या विषयात
t वेळी चेंडूची उंची	f(x) = ax² + bx + c
चेंडू जमिनीच्या पातळीवर असतानाचे क्षण	ax² + bx + c = 0 ची मुळे
चेंडू जमिनीला फक्त एकदाच टेकतो	D = 0, समान मुळे
चेंडू जमिनीच्या पातळीपर्यंत कधीच पोहोचत नाही	D < 0, वास्तव मुळे नाहीत
फेकीचा सर्वात उंच बिंदू	शिरोबिंदू (Vertex) x = −b/2a

संकल्पना

वर्गसमीकरण (Quadratic equation) ax² + bx + c = 0 या रूपात असते, जेथे a ≠ 0. त्याला बरोबर दोन मुळे (वास्तव किंवा संमिश्र) असतात; ती अवयव पाडून किंवा वर्गसमीकरणाच्या सूत्राने काढतात.

विवेचक (Discriminant) D = b² − 4ac काहीही न सोडवता मुळांचे स्वरूप (Nature of roots) ठरवतो. CET चे अनेक प्रश्न फक्त मुळांचे स्वरूप, किंवा मुळांची बेरीज व गुणाकार विचारतात, त्यामुळे समीकरण सोडवण्याची गरजच पडत नाही.

महत्त्वाचे मुद्दे व सूत्रे

मुळे: x = (−b ± √D) / 2a, जेथे D = b² − 4ac
D > 0: दोन भिन्न वास्तव मुळे; D = 0: दोन समान वास्तव मुळे; D < 0: संयुग्मी संमिश्र (Complex conjugate) मुळे
D पूर्ण वर्ग असेल (आणि a, b, c परिमेय असतील): मुळे परिमेय (Rational) असतात
मुळांची बेरीज α + β = −b/a; गुणाकार αβ = c/a
मुळांवरून समीकरण: x² − (बेरीज)x + (गुणाकार) = 0
α² + β² = (α + β)² − 2αβ

सोडवलेले उदाहरण

α आणि β ही x² − 5x + 6 = 0 ची मुळे असतील, तर α² + β² काढा.

उकल पाहा

बेरीज α + β = −(−5)/1 = 5. गुणाकार αβ = 6/1 = 6.
α² + β² = (α + β)² − 2αβ = 25 − 12.

उत्तर: 13

परीक्षेसाठी झटपट युक्ती

“α² + β² काढा” किंवा “1/α + 1/β काढा” असे प्रश्न असतील, तर मुळे काढत बसूच नका. आधी ती राशी बेरीज आणि गुणाकाराच्या रूपात लिहा: 1/α + 1/β = (α + β)/αβ.

नेहमीच्या चुका

बेरजेचे चिन्ह: बेरीज −b/a असते, b/a नव्हे. x² − 5x + 6 साठी बेरीज +5 आहे.
समीकरण प्रमाणित रूपात नसेल (उदा. 2x² = 3x − 1), तर a, b, c वाचण्यापूर्वी सर्व पदे एका बाजूला आणा.

सराव · प्रश्न परीक्षेप्रमाणे इंग्रजीत, खाली मराठी अर्थ · उत्तर तपासण्यासाठी पर्याय निवडा

Q1. The roots of 2x² − 4x + 5 = 0 are:

2x² − 4x + 5 = 0 ची मुळे कशी आहेत?

Q2. The quadratic equation whose roots are 3 and −2 is:

ज्याची मुळे 3 आणि −2 आहेत, ते वर्गसमीकरण कोणते?

Q3. For what value of k does x² + kx + 9 = 0 have equal roots (k > 0)?

k च्या कोणत्या किमतीसाठी x² + kx + 9 = 0 ला समान मुळे असतील (k > 0)?

Q4. If one root of x² − 7x + k = 0 is 2, then the other root and k are:

x² − 7x + k = 0 चे एक मूळ 2 असेल, तर दुसरे मूळ आणि k किती?

↑ विषयसूचीकडे परत

गणित · बीजगणित · विषय 3 / 24

लघुगणक

Logarithms

पूर्ण झाले म्हणून खूण करा

असं समजा…

पैसे दुप्पट करणारी बचत योजना

आईने पोस्टाच्या एका योजनेत ₹1,000 ठेवले. ही योजना दर टप्प्याला पैसे दुप्पट करते. एका टप्प्यानंतर ₹2,000, दोन टप्प्यांनंतर ₹4,000, तीन टप्प्यांनंतर ₹8,000. आता हाच प्रश्न उलटा विचारा: पैसे 8 पट झाले; त्याला किती टप्पे लागले? उत्तर 3, आणि तेच नेमके log₂ 8 आहे. लघुगणक (Logarithm) “गुणाकाराचे उत्तर काय?” असे विचारत नाही; तो विचारतो, “पायाने किती वेळा गुणले?”

यावरूनच लघुगणकाचे नियम समजतात. आधी 3 टप्पे थांबा (पैसे × 8), मग आणखी 2 टप्पे (पैसे × 4): पैसे 8 × 4 = 32 पट वाढतात, पण टप्पे फक्त मिळवले जातात, 3 + 2 = 5. वाढींचा गुणाकार म्हणजे टप्प्यांची बेरीज, म्हणजेच log(xy) = log x + log y. आणि 8 × 8 × 8 = 8³ पट वाढीसाठी 3 × 3 = 9 टप्पे लागतात, म्हणजेच log(8³) = 3 log 8.

रोजच्या जीवनात	परीक्षेच्या विषयात
दर टप्प्याला पैसे दुप्पट होतात	पाया (Base) 2 (ज्या संख्येने आपण पुन्हा पुन्हा गुणतो)
पैसे 8 पट झाले	ती संख्या, 8
त्यासाठी लागलेले टप्पे (3)	log₂ 8 = 3, कारण 2³ = 8
3 टप्पे आणि मग आणखी 2: वाढ 8 × 4, टप्पे 3 + 2	log(xy) = log x + log y
8³ पट वाढीला 3 × (8 पट वाढीचे टप्पे) लागतात	log(xⁿ) = n log x

संकल्पना

log_a x = y आणि a^y = x यांचा अर्थ अगदी एकच आहे. लघुगणक म्हणजेच घात. तो फक्त x > 0, a > 0 आणि a ≠ 1 असतानाच व्याख्यित असतो. पाया 10 असलेल्या लघुगणकाला सामान्य लघुगणक (Common log, log x) आणि पाया e असलेल्याला नैसर्गिक लघुगणक (Natural log, ln x) म्हणतात.

लघुगणकाचा प्रत्येक नियम म्हणजे वेगळ्या वेशातला घातांकाचाच नियम: संख्यांचा गुणाकार केला की त्यांचे घात मिळवले जातात, म्हणून गुणाकाराचा लघुगणक = लघुगणकांची बेरीज. CET चे बहुतेक प्रश्न असे सुटतात: (1) प्रत्येक संख्या एखाद्या छोट्या पायाचा घात म्हणून लिहा, (2) पाया बदलण्याचा नियम (Change of base) वापरून सर्व लघुगणक एकाच पायावर आणा, (3) मग साधे रेषीय किंवा वर्गसमीकरण सोडवा.

लघुगणकाचे कोणतेही समीकरण सोडवल्यावर उत्तर परत समीकरणात ठेवून तपासा की प्रत्येक log मधील संख्या (Argument) धन आहे. ज्या किमतींमुळे ती संख्या शून्य किंवा ऋण होते, त्या किमती नाकाराव्याच लागतात.

महत्त्वाचे मुद्दे व सूत्रे

log_a x = y ⟺ aʸ = x (x > 0, a > 0, a ≠ 1)
log_a 1 = 0; log_a a = 1; a^{log_a x} = x
log(xy) = log x + log y; log(x/y) = log x − log y; log(xⁿ) = n log x
पाया बदल: log_a x = log_b x / log_b a; म्हणून log_a b × log_b a = 1
log_aᵐ xⁿ = (n/m) log_a x
log₁₀ 2 ≈ 0.3010, log₁₀ 3 ≈ 0.4771, log₁₀ 5 = 1 − log₁₀ 2 ≈ 0.6990
N (N ≥ 1) मधील अंकांची संख्या = (log₁₀ N चा पूर्णांक भाग) + 1

सोडवलेले उदाहरण

log₁₀ 2 = 0.3010 दिले असता, 2⁵⁰ या संख्येत किती अंक आहेत?

उकल पाहा

log₁₀(2⁵⁰) = 50 × log₁₀ 2 = 50 × 0.3010 = 15.05.
पूर्णांक भाग (पूर्णांश, Characteristic) 15 आहे, म्हणून 2⁵⁰ ही संख्या 10¹⁵ आणि 10¹⁶ यांच्या दरम्यान आहे.
अंकांची संख्या = 15 + 1.

उत्तर: 16 अंक

परीक्षेसाठी झटपट युक्ती

पाये वेगवेगळे आहेत? सगळे सर्वात लहान पायावर आणा. log₂ x + log₄ x + log₁₆ x = 7 साठी: log₄ x = ½ log₂ x आणि log₁₆ x = ¼ log₂ x, म्हणून (1 + ½ + ¼) log₂ x = 7; यावरून log₂ x = 4 आणि x = 16, फक्त दोन ओळींत.

नेहमीच्या चुका

log(x + y) म्हणजे log x + log y नव्हे. बेरजेचा नियम log च्या आत गुणाकार असेल तरच लागू होतो.
log x / log y म्हणजे log(x/y) नव्हे. log x / log y = log_y x (पाया बदल).
ज्या मुळांमुळे log मधील संख्या ≤ 0 होते ती नाकारायला विसरणे, उदा. log₂(x + 3) मध्ये x = −5.

सराव · प्रश्न परीक्षेप्रमाणे इंग्रजीत, खाली मराठी अर्थ · उत्तर तपासण्यासाठी पर्याय निवडा

Q1. The value of log₂ 64 − log₃ 81 + log₅ 1 is:

log₂ 64 − log₃ 81 + log₅ 1 ची किंमत किती?

Q2. If log₁₀ 2 = 0.3010 and log₁₀ 3 = 0.4771, then log₁₀ 72 is:

जर log₁₀ 2 = 0.3010 आणि log₁₀ 3 = 0.4771, तर log₁₀ 72 किती?

Q3. The solution of log₂(x + 3) + log₂(x − 3) = 4 is:

log₂(x + 3) + log₂(x − 3) = 4 ची उकल कोणती?

Q4. The value of log₃ 5 × log₂₅ 27 is:

log₃ 5 × log₂₅ 27 ची किंमत किती?

↑ विषयसूचीकडे परत

गणित · बीजगणित · विषय 4 / 24

श्रेढी: अंकगणिती, भूमिती, हरात्मक (AP, GP, HP)

Progressions: AP, GP, HP

पूर्ण झाले म्हणून खूण करा

असं समजा…

गोकुळाष्टमी: दहीहंडीचा मनोरा आणि व्हॉट्सॲपवरचं निमंत्रण

गोकुळाष्टमीला तुमच्या चाळीचं गोविंदा पथक मानवी मनोरा रचतं. सर्वात खालच्या थरात 20 गोविंदा, आणि वरच्या प्रत्येक थरात 4 ने कमी: 20, 16, 12, 8, 4. बदल नेहमी तोच फरक आहे, म्हणून हे थर अंकगणिती श्रेढी (AP) बनवतात. सगळ्यांची पटकन मोजणी करायची? सर्वात खालचा थर सर्वात वरच्या थराशी जोडा (20 + 4 = 24), दुसरा चौथ्याशी (16 + 8 = 24): प्रत्येक जोडीची बेरीज तीच येते, म्हणून एकूण बेरीज = (थरांची संख्या ÷ 2) × (पहिला + शेवटचा).

इकडे मंडळाचं निमंत्रण व्हॉट्सॲपवर फिरतंय. एक जण ते 3 जणांना पाठवतो, त्यातला प्रत्येक जण आणखी 3 जणांना: 1, 3, 9, 27… इथे प्रत्येक पायरीला त्याच गुणोत्तराने गुणाकार होतो, म्हणून ही भूमिती श्रेढी (GP), आणि ती मनोऱ्यापेक्षा कितीतरी वेगाने वाढते. शेवटी, तुम्ही दहीहंडीच्या ठिकाणी बाइकने 30 km/h ने जाता आणि 20 km/h ने परत येता. पूर्ण प्रवासाचा सरासरी वेग हरात्मक मध्य (Harmonic mean) म्हणजे 24 km/h आहे, 25 नव्हे, कारण हळू प्रवासात तुमचा जास्त वेळ जातो.

रोजच्या जीवनात	परीक्षेच्या विषयात
प्रत्येक थरात खालच्या थरापेक्षा 4 गोविंदा कमी	सामाईक फरक (Common difference) d = −4 असलेली अंकगणिती श्रेढी
खालचा थर वरच्या थराशी जोडणे (20 + 4 = 16 + 8)	Sₙ = (n/2)(पहिले पद + शेवटचे पद)
प्रत्येक जण निमंत्रण 3 जणांना पाठवतो	सामाईक गुणोत्तर (Common ratio) r = 3 असलेली भूमिती श्रेढी
n फेऱ्यांनंतर निमंत्रण पोहोचलेले एकूण फोन	Sₙ = a(rⁿ − 1)/(r − 1)
तेच अंतर, जाताना 30 km/h आणि येताना 20 km/h	सरासरी वेग = HM = 2ab/(a + b) = 24

संकल्पना

अंकगणिती श्रेढी (AP, Arithmetic progression) मध्ये प्रत्येक वेळी ठरावीक संख्या d मिळवली जाते: a, a + d, a + 2d, … भूमिती श्रेढी (GP, Geometric progression) मध्ये प्रत्येक वेळी ठरावीक गुणोत्तर r ने गुणले जाते: a, ar, ar², … हरात्मक श्रेढी (HP, Harmonic progression) म्हणजे अशी श्रेढी जिच्या पदांचे व्यस्त (Reciprocals) अंकगणिती श्रेढीत असतात, उदा. 1, 1/2, 1/3, 1/4.

हरात्मक श्रेढीच्या बेरजेचे थेट सूत्र नाही: नेहमी तिच्या व्यस्तांची अंकगणिती श्रेढी घ्या, तिथे काम करा आणि शेवटी पुन्हा व्यस्त घ्या.

दोन धन संख्या a आणि b साठी अंकगणिती मध्य (AM), भूमिती मध्य (GM) आणि हरात्मक मध्य (HM) हे तीन मध्य AM ≥ GM ≥ HM हा संबंध पाळतात (a = b असेल तरच तिन्ही समान), आणि GM² = AM × HM. यांपैकी दोन मध्य देऊन तिसरा विचारणारे प्रश्न CET ला खूप आवडतात.

महत्त्वाचे मुद्दे व सूत्रे

AP: aₙ = a + (n − 1)d; Sₙ = (n/2)[2a + (n − 1)d] = (n/2)(a + l)
GP: aₙ = arⁿ⁻¹; Sₙ = a(rⁿ − 1)/(r − 1), r ≠ 1; |r| < 1 असेल तेव्हा अनंत बेरीज = a/(1 − r)
HP: व्यस्त संख्या AP मध्ये असतात; HP चे n वे पद = 1/(त्या AP चे n वे पद)
AM = (a + b)/2; GM = √(ab); HM = 2ab/(a + b)
धन संख्यांसाठी AM ≥ GM ≥ HM, आणि GM² = AM × HM
AP मधील तीन पदे: a − d, a, a + d; GP मधील तीन पदे: a/r, a, ar
aₙ = Sₙ − Sₙ₋₁ (बेरजेच्या सूत्रावरून कोणतेही पद काढा)

सोडवलेले उदाहरण

7 ने विभाज्य असलेल्या सर्व दोन-अंकी संख्यांची बेरीज काढा.

उकल पाहा

संख्या 14, 21, …, 98 आहेत: a = 14, d = 7, l = 98 असलेली AP.
पदांची संख्या: 98 = 14 + (n − 1)7, म्हणून n − 1 = 12 आणि n = 13.
बेरीज = (13/2)(14 + 98) = (13/2)(112) = 13 × 56.

उत्तर: 728

परीक्षेसाठी झटपट युक्ती

विषम संख्येने पदे असलेल्या AP साठी, बेरीज = (पदांची संख्या) × (मधले पद). 7 पदांच्या AP चे 4 थे पद 10 असेल, तर a किंवा d न काढताच बेरीज 7 × 10 = 70.

नेहमीच्या चुका

अनंत GP ची बेरीज a/(1 − r) फक्त |r| < 1 असतानाच लागू होते. r = 2 साठी बेरीज अस्तित्वातच नाही.
“HP ची बेरीज” असे सूत्र नाही. आधी व्यस्तांच्या AP मध्ये रूपांतर करा.
पदे मोजताना: 14 ते 98 पर्यंत 7 च्या पायऱ्यांनी (98 − 14)/7 + 1 = 13 पदे होतात, 12 नव्हे.

सराव · प्रश्न परीक्षेप्रमाणे इंग्रजीत, खाली मराठी अर्थ · उत्तर तपासण्यासाठी पर्याय निवडा

Q1. The 10th term of the AP 3, 7, 11, … is:

AP 3, 7, 11, … चे 10 वे पद कोणते?

Q2. The sum of the infinite GP 6 + 2 + 2/3 + … is:

अनंत GP 6 + 2 + 2/3 + … ची बेरीज किती?

Q3. The AM of two positive numbers is 10 and their GM is 8. Their HM is:

दोन धन संख्यांचा AM 10 आणि GM 8 आहे. त्यांचा HM किती?

Q4. The sum of the first n terms of an AP is 3n² + 2n. Its 5th term is:

एका AP च्या पहिल्या n पदांची बेरीज 3n² + 2n आहे. तिचे 5 वे पद कोणते?

↑ विषयसूचीकडे परत

गणित · बीजगणित · विषय 5 / 24

द्विपद प्रमेय

Binomial Theorem

पूर्ण झाले म्हणून खूण करा

असं समजा…

कॉलेजच्या कॅन्टीनमध्ये पाच मित्रांची ऑर्डर

पाच मित्र कॉलेजच्या कॅन्टीनमध्ये येतात. प्रत्येक जण एकतर पोहे (म्हणू a) किंवा उपमा (म्हणू b) मागवतो. वेटर चिठ्ठीवर फक्त एकूण आकडा लिहितो, उदा. “3 पोहे, 2 उपमा”. ही चिठ्ठी किती वेगवेगळ्या प्रकारे बनू शकते? 5 पैकी कोणत्या 2 मित्रांनी उपमा घेतला, एवढंच निवडायचं: ⁵C₂ = 10 प्रकार.

(a + b)⁵ = (a + b)(a + b)(a + b)(a + b)(a + b) चा विस्तार करताना नेमकं हेच घडतं. प्रत्येक कंस म्हणजे एक मित्र, ज्याला a किंवा b यांपैकी एक निवडायचंच आहे. a³b² हे पद म्हणजे “3 पोहे, 2 उपमा” ही चिठ्ठी, आणि त्याचा सहगुणक 10 म्हणजे कोणत्या कंसांनी b दिला हे निवडण्याचे प्रकार. चिठ्ठ्या 0 उपमा ते 5 उपमा अशा असू शकतात, म्हणून 6 पदे; आणि पाच मित्र एकूण 2⁵ = 32 प्रकारे ऑर्डर देऊ शकतात, हीच सर्व सहगुणकांची बेरीज.

रोजच्या जीवनात	परीक्षेच्या विषयात
प्रत्येक मित्र पोहे किंवा उपमा निवडतो	प्रत्येक कंस (a + b) मधून a किंवा b येतो
ऑर्डर-चिठ्ठी “3 पोहे, 2 उपमा”	a³b² हे पद
कोणत्या 2 मित्रांनी उपमा घेतला हे निवडण्याचे प्रकार	सहगुणक ⁵C₂ = 10
शक्य चिठ्ठ्या: 0, 1, 2, 3, 4 किंवा 5 उपमा	n + 1 = 6 पदे
5 मित्र ऑर्डर देऊ शकतील असे सर्व प्रकार	सहगुणकांची बेरीज = 2⁵ = 32

संकल्पना

n धन पूर्णांक असताना (a + b)ⁿ चा विस्तार, कंस n वेळा न गुणता, द्विपद प्रमेय (Binomial theorem) देते. ⁿC₀, ⁿC₁, …, ⁿCₙ या सहगुणकांना द्विपद सहगुणक (Binomial coefficients) म्हणतात (पास्कलच्या त्रिकोणाच्या ओळी).

CET चा जवळजवळ प्रत्येक प्रश्न सामान्य पद (General term) T_r+1 = ⁿCᵣ aⁿ⁻ʳ bʳ वापरतो. “xᵏ चा सहगुणक” किंवा “x-विरहित पद” असे प्रश्न असतील, तर सामान्य पद लिहा, x चा घात एकत्र करा, तो हव्या त्या किमतीएवढा ठेवा आणि r काढा.

x मधील कोणत्याही विस्ताराच्या सहगुणकांची बेरीज हवी असेल, तर फक्त x = 1 ठेवा.

महत्त्वाचे मुद्दे व सूत्रे

(a + b)ⁿ = Σ ⁿCᵣ aⁿ⁻ʳ bʳ (r = 0 ते n); त्यात n + 1 पदे असतात
सामान्य पद: T_r+1 = ⁿCᵣ aⁿ⁻ʳ bʳ
n सम: एकच मध्य पद T_{n/2 + 1}; n विषम: दोन मध्य पदे T_(n+1)/2 आणि T_(n+3)/2
ⁿC₀ + ⁿC₁ + … + ⁿCₙ = 2ⁿ; विषम स्थानांवरील सहगुणकांची बेरीज = सम स्थानांवरील सहगुणकांची बेरीज = 2ⁿ⁻¹
ⁿCᵣ = ⁿCₙ₋ᵣ; ⁿCᵣ + ⁿCᵣ₋₁ = ⁿ⁺¹Cᵣ
(a − b)ⁿ मध्ये सामान्य पदात (−1)ʳ असतो: चिन्हे आलटून पालटून येतात
x-विरहित पद (Term independent of x): T_r+1 मधील x चा घात 0 ठेवा

सोडवलेले उदाहरण

(x² + 1/x)⁹ मधील x-विरहित पद काढा.

उकल पाहा

T_r+1 = ⁹Cᵣ (x²)⁹⁻ʳ (1/x)ʳ = ⁹Cᵣ x^{18 − 2r − r} = ⁹Cᵣ x^{18 − 3r}.
x-विरहित: 18 − 3r = 0, म्हणून r = 6. हे 7 वे पद आहे.
T₇ = ⁹C₆ = ⁹C₃ = (9 × 8 × 7)/(3 × 2 × 1).

उत्तर: 84 (7 वे पद)

परीक्षेसाठी झटपट युक्ती

(xᵖ + 1/x^q)ⁿ मध्ये T_r+1 मधील x चा घात p(n − r) − qr असतो. तो हव्या त्या घाताएवढा ठेवा आणि सोडवा; आधी संपूर्ण पद लिहायची गरज नाही.

नेहमीच्या चुका

सामान्य पद T_r+1 आहे, Tᵣ नव्हे. r = 6 म्हणजे 7 वे पद.
“सहगुणक” मध्ये स्थिरांकही येतात: (1 + 3x)⁵ मध्ये x² चा सहगुणक ⁵C₂ × 3² = 90 आहे, फक्त ⁵C₂ = 10 नव्हे.
(2x − 1/x)ⁿ सारख्या विस्तारात (−1)ʳ चे चिन्ह विसरणे.

सराव · प्रश्न परीक्षेप्रमाणे इंग्रजीत, खाली मराठी अर्थ · उत्तर तपासण्यासाठी पर्याय निवडा

Q1. The coefficient of x² in the expansion of (1 + 3x)⁵ is:

(1 + 3x)⁵ च्या विस्तारातील x² चा सहगुणक किती?

Q2. The middle term in the expansion of (x − 2/x)⁸ is:

(x − 2/x)⁸ च्या विस्तारातील मध्य पद कोणते?

Q3. The sum of the coefficients in the expansion of (3x − 2)⁵ is:

(3x − 2)⁵ च्या विस्तारातील सहगुणकांची बेरीज किती?

Q4. The term independent of x in (2x − 1/x)⁶ is:

(2x − 1/x)⁶ मधील x-विरहित पद कोणते?

↑ विषयसूचीकडे परत

गणित · बीजगणित · विषय 6 / 24

क्रमचय आणि संचय

Permutations and Combinations

पूर्ण झाले म्हणून खूण करा

असं समजा…

लग्नातल्या मिठाईचं नियोजन

तुमच्या चुलतभावाच्या लग्नाचा केटरर 8 प्रकारच्या मिठाया बनवू शकतो. घरच्यांना मेनू कार्डसाठी त्यांतल्या 3 निवडायच्या आहेत. जिलेबी, गुलाबजाम आणि बासुंदी: कोणत्याही क्रमाने लिहिलं तरी मेनू तोच, म्हणजे इथे क्रम महत्त्वाचा नाही. हा संचय (Combination): ⁸C₃ = 56 मेनू.

आता मुख्य आचाऱ्याला ठरवायचंय की पंगतीत वाढपी त्या मिठाया कोणत्या क्रमाने आणतील: पहिली, दुसरी, तिसरी. आधी जिलेबी मग बासुंदी हे आधी बासुंदी मग जिलेबीपेक्षा वेगळं, म्हणजे इथे क्रम महत्त्वाचा. हा क्रमचय (Permutation): ⁸P₃ = 336. लक्षात घ्या, 336 = 56 × 6, कारण निवडलेला प्रत्येक मेनू 3! = 6 क्रमांनी वाढता येतो. केटरर 4 प्रकारचे भातही देतो: एक मिठाई आणि एक भात निवडायचा असेल तर पर्यायांचा गुणाकार होतो; पण एकच जादा पदार्थ म्हणून मिठाई किंवा फरसाण निवडायचं असेल, तर पर्यायांची बेरीज होते.

रोजच्या जीवनात	परीक्षेच्या विषयात
8 पैकी 3 मिठाया मेनू कार्डसाठी निवडणे	संचय ⁸C₃ = 56 (क्रम महत्त्वाचा नाही)
3 मिठाया वाढण्याचा क्रम ठरवणे	क्रमचय ⁸P₃ = 336 (क्रम महत्त्वाचा)
निवडलेला प्रत्येक मेनू 3! = 6 क्रमांनी वाढता येतो	ⁿPᵣ = ⁿCᵣ × r!
एक मिठाई आणि एक भात	संख्यांचा गुणाकार (मोजणीचे मूलभूत तत्त्व)
एकच जादा पदार्थ: मिठाई किंवा फरसाण	संख्यांची बेरीज

संकल्पना

आधी एकच प्रश्न विचारा: क्रम महत्त्वाचा आहे का? होय असेल (क्रमांक, बसण्याची व्यवस्था, संख्येतले अंक, पासवर्ड, अक्षरांची मांडणी) तर तो क्रमचय. नाही असेल (समिती, संघ, निवड, हस्तांदोलन) तर तो संचय.

मोजणीचे मूलभूत तत्त्व (Fundamental principle of counting): एक काम m प्रकारे करता येत असेल आणि त्यानंतर दुसरे काम n प्रकारे, तर दोन्ही मिळून m × n प्रकारे करता येतात (आणि = गुणाकार). एकतर हे काम किंवा ते काम करायचे असेल, तर m + n प्रकार (किंवा = बेरीज).

काही वस्तू एकसारख्या असतील (जसे MAHARASHTRA मधील चार A), तर प्रत्येक पुनरावृत्तीच्या संख्येच्या क्रमगुणिताने (Factorial) भागा, कारण एकसारख्या अक्षरांची अदलाबदल केल्याने नवा शब्द तयार होत नाही.

महत्त्वाचे मुद्दे व सूत्रे

ⁿPᵣ = n!/(n − r)!; ⁿCᵣ = n!/[r!(n − r)!]; ⁿPᵣ = r! × ⁿCᵣ
n वस्तूंपैकी p एकसारख्या, q एकसारख्या, … असतील तर मांडण्या: n!/(p! q! …)
n भिन्न वस्तूंच्या वर्तुळाकार मांडण्या (Circular arrangements): (n − 1)!; हार किंवा माळ (उलटी करता येते): (n − 1)!/2
ⁿCᵣ = ⁿCₙ₋ᵣ; जर ⁿCₓ = ⁿCᵧ तर x = y किंवा x + y = n
n भिन्न वस्तूंमधून किमान एक वस्तू निवडण्याचे प्रकार: 2ⁿ − 1
n बाजूंच्या बहुभुजाकृतीचे कर्ण: ⁿC₂ − n; n बिंदूंपासून त्रिकोण (कोणतेही तीन बिंदू एकरेषीय नसताना): ⁿC₃
“एकत्र”: तो गट एकाच गठ्ठ्यासारखा बांधा, मांडणी करा, आणि मग गठ्ठ्याच्या आतील मांडण्यांनी गुणा

सोडवलेले उदाहरण

MAHARASHTRA या शब्दातील अक्षरांच्या किती वेगवेगळ्या मांडण्या करता येतील?

उकल पाहा

एकूण 11 अक्षरे: A 4 वेळा, H 2 वेळा, R 2 वेळा, आणि M, S, T प्रत्येकी एकदा.
मांडण्या = 11!/(4! × 2! × 2!) = 39916800/(24 × 2 × 2) = 39916800/96.

उत्तर: 415800

परीक्षेसाठी झटपट युक्ती

“कधीच एकत्र नाहीत” = (एकूण मांडण्या) − (ते एकत्र असलेल्या मांडण्या). एकत्र असण्याची स्थिती मोजणे सहसा खूप सोपे असते.

नेहमीच्या चुका

समिती किंवा संघासाठी ⁿPᵣ वापरणे. A, B, C ची समिती आणि C, B, A ची समिती एकच, म्हणून ⁿCᵣ वापरा.
0 असलेल्या अंकांपासून संख्या बनवताना, संख्या 0 ने सुरू होऊ शकत नाही हे विसरणे.
पुनरावृत्त अक्षरांसाठी p! ने भागायला विसरणे.

सराव · प्रश्न परीक्षेप्रमाणे इंग्रजीत, खाली मराठी अर्थ · उत्तर तपासण्यासाठी पर्याय निवडा

Q1. A committee of 3 men and 2 women is to be formed from 6 men and 4 women. The number of ways is:

6 पुरुष आणि 4 स्त्रियांमधून 3 पुरुष आणि 2 स्त्रियांची समिती बनवायची आहे. हे किती प्रकारे करता येईल?

Q2. In how many ways can 6 people sit around a round table?

6 व्यक्ती एका गोल टेबलाभोवती किती प्रकारे बसू शकतात?

Q3. How many 3-digit numbers with all digits different can be formed using 0, 1, 2, 3, 4, 5?

0, 1, 2, 3, 4, 5 हे अंक वापरून, सर्व अंक भिन्न असलेल्या किती 3-अंकी संख्या बनवता येतील?

Q4. If ⁿC₈ = ⁿC₆, then ⁿC₂ equals:

जर ⁿC₈ = ⁿC₆, तर ⁿC₂ किती?

↑ विषयसूचीकडे परत

गणित · निर्देशक भूमिती · विषय 7 / 24

सरळ रेषा

Straight Lines

पूर्ण झाले म्हणून खूण करा

असं समजा…

घाट चढणारी एसटी बस

पुण्याहून महाबळेश्वरला जाणारी एसटी बस घाट चढतेय. एका फलकावर लिहिलंय “चढ 10 मध्ये 1”: बस प्रत्येक 10 m पुढे गेली की रस्ता 1 m वर चढतो. हे गुणोत्तर, म्हणजे उंची ÷ पुढे कापलेले अंतर, हाच रेषेचा चढ (Slope). पठारावरचा सपाट रस्ता म्हणजे चढ 0; जास्त तीव्र घाट म्हणजे जास्त चढ.

जिल्ह्याचा नकाशा आलेख कागदावर ठेवा, म्हणजे प्रत्येक गाव एक बिंदू (x, y) बनतो. दोन गावांमधले सरळ अंतर पायथागोरसच्या प्रमेयातून मिळते. अगदी अर्ध्या वाटेवरचा चहाचा थांबा म्हणजे मध्यबिंदू (Midpoint); वाटेच्या दोन-तृतीयांश अंतरावरचा थांबा मार्गाचे 2 : 1 या गुणोत्तरात विभाजन करतो, हे विभाजन सूत्र (Section formula). सारख्याच चढाचे दोन रस्ते शेजारी शेजारी धावतात आणि कधीच भेटत नाहीत (समांतर); काटकोनात छेदणाऱ्या रस्त्यासाठी m₁m₂ = −1; आणि दोन रस्ते जिथे एकमेकांना छेदतात ते जंक्शन त्यांची दोन समीकरणे एकत्र सोडवून मिळते.

रोजच्या जीवनात	परीक्षेच्या विषयात
प्रत्येक 10 m पुढे गेल्यावर रस्ता 1 m वर चढतो	चढ m = (y₂ − y₁)/(x₂ − x₁) = 1/10
दोन गावांच्या अगदी मध्यावरचा चहाचा थांबा	मध्यबिंदू ((x₁ + x₂)/2, (y₁ + y₂)/2)
मार्गाच्या दोन-तृतीयांश अंतरावरचा बस थांबा	2 : 1 गुणोत्तरासाठी विभाजन सूत्र
सारख्याच चढाचे, कधीच न भेटणारे दोन रस्ते	समांतर रेषा: m₁ = m₂
दोन रस्ते जिथे छेदतात ते जंक्शन	छेदनबिंदू: दोन्ही समीकरणे एकत्र सोडवा

संकल्पना

प्रतलातील प्रत्येक बिंदू म्हणजे (x, y) ही जोडी. दोन बिंदूंवरून त्यांच्यातील अंतर, मध्यबिंदू, त्यांना जोडणाऱ्या रेषाखंडाचे दिलेल्या गुणोत्तरात विभाजन करणारा बिंदू (विभाजन सूत्र) आणि त्यांच्यातून जाणाऱ्या रेषेचा चढ काढता येतो.

ax + by + c = 0 या रूपातील कोणतेही समीकरण म्हणजे सरळ रेषा. दिलेल्या माहितीला जुळणारे रूप निवडा: चढ आणि अंतःखंड (Intercept) → y = mx + c; एक बिंदू आणि चढ → y − y₁ = m(x − x₁); दोन अंतःखंड → x/a + y/b = 1.

दोन रेषांचे चढ समान असतील तर त्या समांतर (Parallel), आणि चढांचा गुणाकार −1 असेल तर त्या परस्परांना लंब (Perpendicular). त्यांचा छेदनबिंदू (Point of intersection) दोन्ही समीकरणे एकसामयिक सोडवून मिळतो.

महत्त्वाचे मुद्दे व सूत्रे

अंतर: √[(x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²]
विभाजन सूत्र (आंतर विभाजन, गुणोत्तर m : n): ((mx₂ + nx₁)/(m + n), (my₂ + ny₁)/(m + n)); बाह्य विभाजन: गुणोत्तराच्या भागात + ऐवजी − ठेवा
त्रिकोणाचा मध्यगासंपात (Centroid): ((x₁ + x₂ + x₃)/3, (y₁ + y₂ + y₃)/3)
चढ m = tan θ = (y₂ − y₁)/(x₂ − x₁); ax + by + c = 0 साठी m = −a/b
रूपे: y = mx + c; y − y₁ = m(x − x₁); x/a + y/b = 1
समांतर: m₁ = m₂; लंब: m₁m₂ = −1; कोन: tan θ = |(m₁ − m₂)/(1 + m₁m₂)|
(x₁, y₁) पासून ax + by + c = 0 चे अंतर: |ax₁ + by₁ + c| / √(a² + b²); समांतर रेषा ax + by + c₁ = 0 आणि ax + by + c₂ = 0 यांमधील अंतर: |c₁ − c₂| / √(a² + b²)
त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ: ½ |x₁(y₂ − y₃) + x₂(y₃ − y₁) + x₃(y₁ − y₂)|; क्षेत्रफळ 0 म्हणजे बिंदू एकरेषीय (Collinear) आहेत

सोडवलेले उदाहरण

(2, 3) मधून जाणाऱ्या आणि 3x − 4y + 5 = 0 ला लंब असणाऱ्या रेषेचे समीकरण काढा.

उकल पाहा

दिलेल्या रेषेचा चढ = −a/b = −3/(−4) = 3/4.
लंब रेषेचा चढ = −1 ÷ (3/4) = −4/3.
बिंदू-चढ रूप: y − 3 = (−4/3)(x − 2), म्हणून 3y − 9 = −4x + 8.
मांडणी बदलून: 4x + 3y − 17 = 0. तपासणी: 4(2) + 3(3) − 17 = 0. ✓

उत्तर: 4x + 3y − 17 = 0

परीक्षेसाठी झटपट युक्ती

ax + by + c = 0 ला लंब रेषा: bx − ay + k = 0 लिहा. तिला समांतर रेषा: ax + by + k = 0. मग दिलेला बिंदू ठेवून k काढा. वरील उदाहरणात: 3x − 4y + 5 = 0 ला लंब रेषा 4x + 3y + k = 0; (2, 3) ठेवल्यावर k = −17.

नेहमीच्या चुका

उभ्या रेषेचा (x = स्थिरांक) चढ अव्याख्यित असतो, 0 नव्हे. आडव्या रेषेचा चढ 0 असतो.
विभाजन सूत्रातील क्रम: A कडून B कडे m : n गुणोत्तरासाठी m ने B चे निर्देशक गुणले जातात. अदलाबदल केली तर चुकीचा बिंदू मिळतो.
समांतर रेषांमधील अंतर काढण्यापूर्वी x आणि y चे सहगुणक तंतोतंत सारखे करा (उदा. 3x + 4y शी जुळवण्यासाठी 6x + 8y = … ला 2 ने भागावे लागते).

सराव · प्रश्न परीक्षेप्रमाणे इंग्रजीत, खाली मराठी अर्थ · उत्तर तपासण्यासाठी पर्याय निवडा

Q1. The distance between the points (−1, 2) and (5, −6) is:

(−1, 2) आणि (5, −6) या बिंदूंमधील अंतर किती?

Q2. The point dividing the join of A(1, −2) and B(7, 4) internally in the ratio 2 : 1 is:

A(1, −2) आणि B(7, 4) यांना जोडणाऱ्या रेषाखंडाचे 2 : 1 गुणोत्तरात आंतर विभाजन करणारा बिंदू कोणता?

Q3. The perpendicular distance of the point (3, −2) from the line 3x + 4y − 6 = 0 is:

(3, −2) या बिंदूचे 3x + 4y − 6 = 0 या रेषेपासूनचे लंबांतर किती?

Q4. The lines 2x + ky − 3 = 0 and 3x − 6y + 1 = 0 are perpendicular when k equals:

k च्या कोणत्या किमतीसाठी 2x + ky − 3 = 0 आणि 3x − 6y + 1 = 0 या रेषा परस्परांना लंब असतील?

↑ विषयसूचीकडे परत

गणित · निर्देशक भूमिती · विषय 8 / 24

वर्तुळ

Circles

पूर्ण झाले म्हणून खूण करा

असं समजा…

खुंट्याला बांधलेली शेळी

आजोबांनी अंगणात खुंटा ठोकून शेळीला 3 m दोरीने बांधलं. दोरी ताणून शेळी खुंट्यापासून बरोबर 3 m अंतरावरच्या प्रत्येक बिंदूपर्यंत जेमतेम पोहोचते, म्हणून ती खाते त्या गवताची कड म्हणजे वर्तुळ (Circle). आपल्या आलेखावर खुंटा (h, k) या बिंदूवर असेल, तर त्या कडेवरचा कोणताही बिंदू (x, y) हे समीकरण पाळतो: (x − h)² + (y − k)² = 3². हे म्हणजे फक्त अंतराच्या सूत्राचा वर्ग.

गवताचा एखादा पुंजका शेळीच्या आवाक्यात आहे का? त्याचे स्थान डाव्या बाजूत ठेवा आणि 9 वजा करा. उत्तर ऋण आले तर पुंजका आत आहे (शेळी तो खाते), शून्य म्हणजे बरोबर कडेवर, धन म्हणजे आवाक्याबाहेर. ताणलेली दोरी ज्या सरळ कुंपणाच्या भिंतीला फक्त घासून जाते, ती भिंत म्हणजे स्पर्शिका (Tangent): खुंट्यापासून त्या भिंतीचे अंतर बरोबर दोरीच्या लांबीएवढे असते.

रोजच्या जीवनात	परीक्षेच्या विषयात
खुंट्याचे स्थान	केंद्र (Centre) (h, k), किंवा सामान्य रूपात (−g, −f)
दोरीची लांबी	त्रिज्या (Radius) r = √(g² + f² − c)
चरलेल्या जागेची कड	(x − h)² + (y − k)² = r²
गवताचा पुंजका आवाक्यात आहे का? त्याचे स्थान ठेवून पाहा	S₁ < 0 आत, S₁ = 0 वर्तुळावर, S₁ > 0 बाहेर
ताणलेली दोरी जिला फक्त घासून जाते ती सरळ भिंत	स्पर्शिका: केंद्रापासून रेषेचे अंतर = r

संकल्पना

एका स्थिर बिंदूपासून (केंद्र) ठरावीक अंतरावर r (त्रिज्या) असणाऱ्या सर्व बिंदूंचा संच म्हणजे वर्तुळ. यासाठी अंतराचे सूत्र लिहिले की केंद्र-त्रिज्या रूप (x − h)² + (y − k)² = r² मिळते.

त्याचा विस्तार केला की सामान्य रूप (General form) x² + y² + 2gx + 2fy + c = 0 मिळते; त्याचे केंद्र (−g, −f) आणि त्रिज्या √(g² + f² − c). x² आणि y² चे सहगुणक समान असतील आणि xy पद नसेल, तरच ते समीकरण वर्तुळाचे असते.

रेषा आणि वर्तुळ यांच्यासाठी केंद्रापासून रेषेचे लंबांतर d आणि r यांची तुलना करा: d < r असेल तर रेषा वर्तुळाला दोन बिंदूंत छेदते, d = r असेल तर स्पर्श करते (स्पर्शिका), d > r असेल तर वर्तुळाला भेटतच नाही.

महत्त्वाचे मुद्दे व सूत्रे

केंद्र-त्रिज्या रूप: (x − h)² + (y − k)² = r²
सामान्य रूप x² + y² + 2gx + 2fy + c = 0: केंद्र (−g, −f), त्रिज्या √(g² + f² − c)
व्यास रूप (Diameter form), व्यासाची टोके (x₁, y₁), (x₂, y₂): (x − x₁)(x − x₂) + (y − y₁)(y − y₂) = 0
x² + y² = a² वरील (x₁, y₁) या बिंदूतील स्पर्शिका: xx₁ + yy₁ = a²
y = mx + c ही रेषा x² + y² = a² ला स्पर्श करते जर आणि फक्त जर c² = a²(1 + m²)
(x₁, y₁) पासून स्पर्शिकेची लांबी: √S₁, जेथे S₁ = x₁² + y₁² + 2gx₁ + 2fy₁ + c
दोन वर्तुळे C₁C₂ = r₁ + r₂ असेल तर बाह्यस्पर्शी, C₁C₂ = |r₁ − r₂| असेल तर अंतःस्पर्शी असतात

सोडवलेले उदाहरण

x² + y² − 6x + 4y − 12 = 0 चे केंद्र आणि त्रिज्या काढा.

उकल पाहा

x² + y² + 2gx + 2fy + c = 0 शी तुलना करा: 2g = −6, 2f = 4, c = −12.
म्हणून g = −3, f = 2 आणि केंद्र (−g, −f) = (3, −2).
त्रिज्या = √(g² + f² − c) = √(9 + 4 + 12) = √25.

उत्तर: केंद्र (3, −2), त्रिज्या 5

परीक्षेसाठी झटपट युक्ती

केंद्र = (−½ × x चा सहगुणक, −½ × y चा सहगुणक), पण x² आणि y² चे सहगुणक 1 केल्यानंतरच. 2x² + 2y² − 8x + … असेल तर आधी 2 ने भागा.

नेहमीच्या चुका

आधी x² च्या सहगुणकाने न भागणे. 2x² + 2y² − 8x + 12y − 6 = 0 चे केंद्र (2, −3) आहे, (4, −6) नव्हे.
केंद्राचे चिन्ह: + 2gx असेल तर केंद्राचा x-निर्देशक −g असतो.
g² + f² − c ऋण असेल, तर वास्तव वर्तुळच अस्तित्वात नाही.

सराव · प्रश्न परीक्षेप्रमाणे इंग्रजीत, खाली मराठी अर्थ · उत्तर तपासण्यासाठी पर्याय निवडा

Q1. The radius of the circle 2x² + 2y² − 8x + 12y − 6 = 0 is:

2x² + 2y² − 8x + 12y − 6 = 0 या वर्तुळाची त्रिज्या किती?

Q2. The equation of the circle with (1, 2) and (5, 6) as ends of a diameter is:

(1, 2) आणि (5, 6) ही व्यासाची टोके असलेल्या वर्तुळाचे समीकरण कोणते?

Q3. The length of the tangent from (5, 3) to the circle x² + y² − 2x + 4y − 4 = 0 is:

(5, 3) पासून x² + y² − 2x + 4y − 4 = 0 या वर्तुळाला काढलेल्या स्पर्शिकेची लांबी किती?

Q4. The line y = x + c touches the circle x² + y² = 8 when c equals:

c च्या कोणत्या किमतीसाठी y = x + c ही रेषा x² + y² = 8 या वर्तुळाला स्पर्श करते?

↑ विषयसूचीकडे परत

गणित · निर्देशक भूमिती · विषय 9 / 24

शांकवे: परवलय, विवृत्त, अपास्त

Conics: Parabola, Ellipse, Hyperbola

पूर्ण झाले म्हणून खूण करा

असं समजा…

लाइट गेल्यावर भिंतीवर पडलेला बॅटरीचा उजेड

संध्याकाळचं लोडशेडिंग: तुम्ही बॅटरी लावून भिंतीकडे धरता. उजेडाचा झोत म्हणजे प्रकाशाचा एक शंकू (Cone), आणि भिंत त्याला कापते. बॅटरी सरळ भिंतीसमोर धरली तर ठिपका वर्तुळ असतो. थोडी तिरकी केली की तो ताणून बंद अंडाकृती होतो: विवृत्त (Ellipse). झोताची वरची कड भिंतीला अगदी समांतर होईपर्यंत तिरकी करत राहा: आता ठिपका दूरच्या टोकाला कधीच बंद होत नाही. तो उघडा U-आकार म्हणजे परवलय (Parabola). आणखी तिरकी केली की ठिपका आणखी रुंद उघडतो: अपास्त (Hyperbola).

म्हणूनच यांना शंकुच्छेद किंवा शांकवे (Conic sections) म्हणतात: प्रत्येक जण शंकूचा एक छेद आहे. तुम्ही बॅटरी किती तिरकी केली, हे सांगणारी एकच संख्या म्हणजे उत्केंद्रता (Eccentricity) e. प्रत्येक शांकव म्हणजे अशा बिंदूचा मार्ग, ज्याचे एका स्थिर बिंदूपासूनचे (नाभी, Focus) अंतर हे एका स्थिर रेषेपासूनच्या (नियता, Directrix) अंतराच्या e पट असते.

रोजच्या जीवनात	परीक्षेच्या विषयात
भिंतीने कापलेला बॅटरीचा झोत	प्रतलाने कापलेला शंकू; उजेडाचा ठिपका म्हणजे शांकव
बॅटरी सरळ भिंतीसमोर	वर्तुळ, e = 0
थोडी तिरकी: बंद अंडाकृती ठिपका	विवृत्त, 0 < e < 1
झोताची कड भिंतीला समांतर: ठिपका कधीच बंद होत नाही	परवलय, e = 1
आणखी तिरकी: ठिपका आणखी रुंद उघडतो	अपास्त, e > 1

संकल्पना

शांकव (Conic) म्हणजे असा मार्ग, ज्यावरून बिंदू P असा फिरतो की PF = e × PM; येथे F हा स्थिर बिंदू (नाभी), PM हे स्थिर रेषेपासूनचे (नियता) अंतर आणि e ही उत्केंद्रता. e = 1 असेल तर परवलय, e < 1 असेल तर विवृत्त, e > 1 असेल तर अपास्त.

CET मध्ये जवळजवळ प्रत्येक प्रश्न प्रमाणित समीकरण देऊन नाभी, नियता, उत्केंद्रता, नाभिलंब (Latus rectum) किंवा अक्ष विचारतो. म्हणून आधी समीकरण प्रमाणित रूपात आणा (उजव्या बाजूला 1 येईल असे भागा), मग a आणि b वाचा.

लक्षात ठेवण्यासारख्या दोन गोष्टी: विवृत्तावरील कोणत्याही बिंदूच्या दोन नाभींपासूनच्या अंतरांची बेरीज स्थिर असते (= 2a); अपास्तासाठी त्या अंतरांचा फरक स्थिर असतो (= 2a).

महत्त्वाचे मुद्दे व सूत्रे

परवलय y² = 4ax: शिरोबिंदू (0, 0), नाभी (a, 0), नियता x = −a, नाभिलंब 4a
परवलय x² = 4ay: नाभी (0, a), नियता y = −a
विवृत्त x²/a² + y²/b² = 1 (a > b): b² = a²(1 − e²), नाभी (±ae, 0), नियता x = ±a/e
विवृत्त: नाभिलंब 2b²/a; PF₁ + PF₂ = 2a (दीर्घ अक्ष, Major axis)
अपास्त x²/a² − y²/b² = 1: b² = a²(e² − 1), नाभी (±ae, 0), नाभिलंब 2b²/a, |PF₁ − PF₂| = 2a
काटकोनी अपास्त (Rectangular hyperbola) (a = b, उदा. x² − y² = a² किंवा xy = c²): e = √2
केंद्रापासून नाभीचे अंतर: विवृत्त ae = √(a² − b²); अपास्त ae = √(a² + b²)

सोडवलेले उदाहरण

9x² + 25y² = 225 या विवृत्ताची उत्केंद्रता, नाभी आणि नाभिलंब काढा.

उकल पाहा

225 ने भागा: x²/25 + y²/9 = 1, म्हणून a = 5, b = 3.
e² = 1 − b²/a² = 1 − 9/25 = 16/25, म्हणून e = 4/5.
नाभी (±ae, 0) = (±4, 0). नाभिलंब = 2b²/a = 18/5.

उत्तर: e = 4/5, नाभी (±4, 0), नाभिलंब 18/5

परीक्षेसाठी झटपट युक्ती

विवृत्त: वजा (ae = √(a² − b²)). अपास्त: अधिक (ae = √(a² + b²)). x²/25 + y²/9 = 1 साठी ae = √16 = 4; x²/16 − y²/9 = 1 साठी ae = √25 = 5. मग e = (ae)/a.

नेहमीच्या चुका

y² = 12x मध्ये 4a = 12 म्हणून a = 3: नाभी (3, 0) आहे, (12, 0) नव्हे.
मोठा छेद y² च्या खाली असेल (b > a), तर दीर्घ अक्ष उभा असतो आणि नाभी y-अक्षावर असतात.
विवृत्त आणि अपास्त यांचे संबंध गोंधळणे: विवृत्तासाठी 1 − e², अपास्तासाठी e² − 1.

सराव · प्रश्न परीक्षेप्रमाणे इंग्रजीत, खाली मराठी अर्थ · उत्तर तपासण्यासाठी पर्याय निवडा

Q1. The focus of the parabola y² = 12x is:

y² = 12x या परवलयाची नाभी कोणती?

Q2. The eccentricity of the hyperbola x²/16 − y²/9 = 1 is:

x²/16 − y²/9 = 1 या अपास्ताची उत्केंद्रता किती?

Q3. The length of the latus rectum of the ellipse x²/36 + y²/16 = 1 is:

x²/36 + y²/16 = 1 या विवृत्ताच्या नाभिलंबाची लांबी किती?

Q4. For any point on the ellipse 4x² + 9y² = 36, the sum of its distances from the two foci is:

4x² + 9y² = 36 या विवृत्तावरील कोणत्याही बिंदूच्या दोन नाभींपासूनच्या अंतरांची बेरीज किती?

↑ विषयसूचीकडे परत

गणित · निर्देशक भूमिती · विषय 10 / 24

रेषायुग्म आणि रूपांतरणे

Pair of Straight Lines and Transformations

पूर्ण झाले म्हणून खूण करा

असं समजा…

स्टेन्सिलने काढलेली दिवाळीची रांगोळी

दिवाळीपूर्वी तुम्ही अंगणात रांगोळी काढता. आधी मध्यभागी एकमेकांना छेदणाऱ्या दोन खडूच्या मार्गदर्शक रेषा आखता. त्या दोन वेगवेगळ्या रेषा आहेत, पण ax² + 2hxy + by² = 0 हे एकच समीकरण दोघींनाही सामावून घेऊ शकते, कारण ते म्हणजे दोन्ही रेषांच्या समीकरणांचा गुणाकारच आहे. दोन्ही मार्गदर्शक रेषा काटकोनात छेदत असतील, तर सहगुणक a + b = 0 हा संबंध पाळतात.

मग तुम्ही प्लास्टिकचा स्टेन्सिल वापरता. तो न फिरवता पुढच्या फरशीवर सरकवणे म्हणजे स्थानांतरण (Translation): प्रत्येक बिंदू तेवढ्याच अंतराने सरकतो. तो त्याच्या मध्याभोवती फिरवणे म्हणजे परिवलन (Rotation): आकार आणि माप तेच राहते, फक्त दिशा बदलते. त्याच पाकिटातला मोठा स्टेन्सिल घेणे म्हणजे प्रमाणबदल (Scaling): आकार तोच राहतो, पण प्रत्येक लांबी एकाच गुणकाने गुणली जाते, त्यामुळे क्षेत्रफळ त्या गुणकाच्या वर्गाने गुणले जाते.

रोजच्या जीवनात	परीक्षेच्या विषयात
मध्यभागी छेदणाऱ्या दोन खडूच्या रेषा	ax² + 2hxy + by² = 0 (आरंभबिंदूतून जाणाऱ्या दोन रेषा)
काटकोनात छेदणाऱ्या खडूच्या रेषा	a + b = 0 (x² चा सहगुणक + y² चा सहगुणक)
स्टेन्सिल न फिरवता पुढच्या फरशीवर सरकवणे	स्थानांतरण: (x, y) → (x + p, y + q)
स्टेन्सिल त्याच्या मध्याभोवती θ ने फिरवणे	परिवलन: (x, y) → (x cos θ − y sin θ, x sin θ + y cos θ)
त्याच पाकिटातला मोठा स्टेन्सिल वापरणे	प्रमाणबदल: (x, y) → (kx, ky), क्षेत्रफळ × k²

संकल्पना

ax² + 2hxy + by² = 0 हे समघाती समीकरण (Homogeneous equation) आरंभबिंदूतून (Origin) जाणाऱ्या दोन सरळ रेषा दर्शवते. त्या रेषा y = m₁x आणि y = m₂x असतील, तर x² ने भागल्यावर y/x मधील वर्गसमीकरण मिळते, ज्याची मुळे m₁ आणि m₂ आहेत; त्यामुळे चढांची बेरीज आणि गुणाकार थेट सहगुणकांवरून मिळतात.

ax² + 2hxy + by² + 2gx + 2fy + c = 0 हे सर्वसाधारण द्विघाती समीकरण (General second-degree equation) फक्त abc + 2fgh − af² − bg² − ch² = 0 ही निश्चयकाची (Determinant) अट पूर्ण झाली तरच रेषायुग्म (Pair of lines) दर्शवते.

रूपांतरणे (Transformations) बिंदूंना हलवतात. स्थानांतरणात प्रत्येक बिंदू तेवढ्याच अंतराने सरकतो; परिवलनात बिंदू आरंभबिंदूभोवती θ कोनातून फिरतात; प्रमाणबदलात अक्षांच्या दिशेने ठरावीक पटींनी ताणले जाते. प्रश्न बिंदू हलवतोय की अक्ष हलवतोय हे नीट पाहा: अक्ष एका दिशेने हलवणे म्हणजे बिंदू उलट दिशेने हलवण्यासारखेच आहे.

महत्त्वाचे मुद्दे व सूत्रे

ax² + 2hxy + by² = 0: आरंभबिंदूतून जाणाऱ्या दोन रेषा; h² > ab असेल तर वास्तव व भिन्न, h² = ab असेल तर एकरूप (Coincident)
चढ m₁, m₂: m₁ + m₂ = −2h/b, m₁m₂ = a/b
त्यांच्यातील कोन: tan θ = 2√(h² − ab) / |a + b|; a + b = 0 असेल तर परस्परांना लंब
ax² + 2hxy + by² + 2gx + 2fy + c = 0 हे रेषायुग्म असते जर abc + 2fgh − af² − bg² − ch² = 0
आरंभबिंदू (h, k) वर हलवणे (अक्ष सरकवले, फिरवले नाहीत): नवे निर्देशक X = x − h, Y = y − k
बिंदूचे आरंभबिंदूभोवती घड्याळाच्या काट्यांच्या विरुद्ध दिशेने (Anticlockwise) θ ने परिवलन: (x cos θ − y sin θ, x sin θ + y cos θ); 90° साठी: (x, y) → (−y, x)
अक्षांचे θ ने परिवलन: X = x cos θ + y sin θ, Y = −x sin θ + y cos θ
sₓ आणि sᵧ ने प्रमाणबदल: (x, y) → (sₓx, sᵧy); क्षेत्रफळ sₓsᵧ ने गुणले जाते

सोडवलेले उदाहरण

x² − 4xy + y² = 0 ने दर्शवलेल्या रेषांमधील कोन काढा.

उकल पाहा

ax² + 2hxy + by² = 0 शी तुलना करा: a = 1, 2h = −4 म्हणून h = −2, b = 1.
tan θ = 2√(h² − ab) / |a + b| = 2√(4 − 1) / 2 = √3.
tan θ = √3 म्हणून θ = 60°.

उत्तर: 60°

परीक्षेसाठी झटपट युक्ती

दोन वेगळ्या रेषा हव्या असतील तर वर्गराशीसारखे अवयव पाडा: x² − 5xy + 6y² = (x − 2y)(x − 3y), म्हणून रेषा x = 2y आणि x = 3y. अवयव सहज पडत असतील, तर चढ आणि कोन लगेच मिळतात.

नेहमीच्या चुका

h हा xy च्या सहगुणकाचा अर्धा असतो. 3x² + 2xy − y² = 0 मध्ये h = 1, 2 नव्हे.
आरंभबिंदू (2, −1) वर हलवला की नवे निर्देशक (x − 2, y + 1) होतात, (x + 2, y − 1) नव्हे.
अक्षांचे परिवलन आणि बिंदूचे परिवलन, θ तोच असला तरी, उलट निकाल देतात. प्रश्नात कोणते विचारले आहे ते नीट वाचा.

सराव · प्रश्न परीक्षेप्रमाणे इंग्रजीत, खाली मराठी अर्थ · उत्तर तपासण्यासाठी पर्याय निवडा

Q1. The equation kx² + 5xy − 3y² = 0 represents a pair of perpendicular lines if k equals:

k च्या कोणत्या किमतीसाठी kx² + 5xy − 3y² = 0 हे परस्परांना लंब असलेले रेषायुग्म दर्शवते?

Q2. The point (2, 3) is rotated through 90° anticlockwise about the origin. Its new position is:

(2, 3) या बिंदूचे आरंभबिंदूभोवती घड्याळाच्या काट्यांच्या विरुद्ध दिशेने 90° परिवलन केले. त्याचे नवे स्थान कोणते?

Q3. The origin is shifted to (2, −1) without rotating the axes. The new coordinates of the point (5, 3) are:

अक्ष न फिरवता आरंभबिंदू (2, −1) वर हलवला. (5, 3) या बिंदूचे नवे निर्देशक कोणते?

Q4. The sum of the slopes of the lines given by 3x² + 2xy − y² = 0 is:

3x² + 2xy − y² = 0 ने दिलेल्या रेषांच्या चढांची बेरीज किती?

↑ विषयसूचीकडे परत

गणित · विकल समीकरणे · विषय 11 / 24

विकल समीकरणे

Differential Equations

पूर्ण झाले म्हणून खूण करा

असं समजा…

टपरीवर थंड होणारा कटिंग चहा

दुपारी 30°C तापमान आहे आणि टपरीवाला 80°C चा कटिंग चहा ओततो. सुरुवातीला चहा पटकन थंड होतो; खोलीच्या तापमानाजवळ आला की थंड होण्याचा वेग मंदावतो. हे एका वाक्यात सांगा: चहा थंड होण्याचा दर, तो खोलीपेक्षा किती जास्त गरम आहे याच्या प्रमाणात असतो. हेच वाक्य गणितात लिहिलं की dT/dt = −k(T − 30), म्हणजे एक विकल समीकरण (Differential equation). ते तापमान थेट सांगत नाही; तापमान कसं बदलतंय ते सांगतं.

ते सोडवलं की T = 30 + Ce^−kt मिळतं. हे वक्रांचं एक संपूर्ण कुटुंब आहे, सुरुवातीच्या प्रत्येक शक्य तापमानासाठी एक वक्र, कारण स्थिरांक C अजून ठरलेला नाही: ही सर्वसाधारण उकल (General solution). चहा 80°C ला ओतला होता (t = 0 ला T = 80) हे कळताच C = 50 ठरतो आणि एकच ठरावीक वक्र मिळतो: ही विशिष्ट उकल (Particular solution).

रोजच्या जीवनात	परीक्षेच्या विषयात
t वेळी चहाचे तापमान	अवलंबी चल (Dependent variable) T (किंवा y)
चहा आत्ता किती वेगाने थंड होतोय	विकलज (Derivative) dT/dt
जास्त गरम चहा जास्त वेगाने थंड होतो	dT/dt = −k(T − 30) हे समीकरण
कोणत्याही तापमानाला ओतलेल्या चहाचे थंड होण्याचे सर्व वक्र	सर्वसाधारण उकल T = 30 + Ce^−kt (स्वैर स्थिरांक C)
तो 80°C ला ओतला होता हे माहीत असणे	प्रारंभिक अट (Initial condition) C = 50 ठरवते: विशिष्ट उकल

संकल्पना

विकल समीकरण (DE) फलन आणि त्याचे विकलज यांना जोडते. समीकरणात असलेल्या सर्वोच्च विकलजाची कोटी म्हणजे समीकरणाची कोटी (Order); विकलजांमधील करणी (Radicals) आणि अपूर्णांक काढून टाकल्यानंतर त्या सर्वोच्च विकलजाचा घात म्हणजे समीकरणाचा घात (Degree). n कोटीच्या समीकरणाच्या सर्वसाधारण उकलीत बरोबर n स्वैर स्थिरांक (Arbitrary constants) असतात.

प्रथम कोटीच्या या पद्धती आल्याच पाहिजेत: चल विभक्त करता येणारी (Variables separable) समीकरणे (सगळे y एका बाजूला, सगळे x दुसऱ्या बाजूला, मग संकलन); समघाती (Homogeneous) समीकरणे (dy/dx हे y/x चे फलन असते, म्हणून y = vx ठेवा); आणि रेषीय (Linear) समीकरण dy/dx + Py = Q, जे संकलन गुणक (Integrating factor) IF = e^{∫P dx} वापरून सोडवतात.

y″ + ay′ + by = 0 सारख्या स्थिर सहगुणक असलेल्या रेषीय समीकरणांसाठी y = e^mx ठेवून पाहा. यामुळे DE चे रूपांतर सहायक समीकरणात (Auxiliary equation) m² + am + b = 0 मध्ये होते, आणि मुळांचा प्रकार उकलीचे रूप ठरवतो.

महत्त्वाचे मुद्दे व सूत्रे

कोटी = सर्वोच्च विकलज; घात = त्याचा घात (करणी/अपूर्णांक काढल्यानंतर); स्वैर स्थिरांकांची संख्या = कोटी
चल विभक्त करता येणारी: f(y) dy = g(x) dx, दोन्ही बाजूंचे संकलन करा
समघाती dy/dx = F(y/x): y = vx ठेवा, dy/dx = v + x dv/dx
रेषीय dy/dx + Py = Q: IF = e^{∫P dx}; उकल y × IF = ∫(Q × IF) dx + C
y″ + ay′ + by = 0: m² + am + b = 0 सोडवा
भिन्न वास्तव मुळे m₁, m₂: y = c₁e^m₁x + c₂e^m₂x; समान मुळे m: y = (c₁ + c₂x)e^mx; मुळे α ± iβ: y = e^αx(c₁ cos βx + c₂ sin βx)
वाढ किंवा ऱ्हास dy/dt = ky असेल तर y = y₀e^kt

सोडवलेले उदाहरण

dy/dx + y/x = x² (x > 0) सोडवा.

उकल पाहा

हे P = 1/x आणि Q = x² असलेले रेषीय समीकरण आहे.
IF = e^{∫(1/x) dx} = e^{ln x} = x.
y × x = ∫x² × x dx = ∫x³ dx = x⁴/4 + C.
x ने भागा: y = x³/4 + C/x.

उत्तर: y = x³/4 + C/x

परीक्षेसाठी झटपट युक्ती

n स्वैर स्थिरांक असलेल्या वक्रकुलाचे विकल समीकरण तयार करायचे असेल, तर n वेळा विकलन करा आणि स्थिरांक काढून टाका. कोटी = स्थिरांकांची संख्या: y = A cos x + B sin x मध्ये 2 स्थिरांक आहेत, म्हणून त्याचे DE द्वितीय कोटीचे: y″ + y = 0.

नेहमीच्या चुका

विकलज sin, e^… किंवा log च्या आत असेल तर घात व्याख्यित नसतो, उदा. sin(dy/dx) + y = 0.
dy/dx चा सहगुणक 1 केल्यानंतरच P वाचा. x dy/dx + 2y = x³ साठी आधी x ने भागा: P = 2/x.
सहायक समीकरणाची मुळे समान असतील तर (c₁ + c₂x)e^mx लागते, c₁e^mx + c₂e^mx नव्हे.

सराव · प्रश्न परीक्षेप्रमाणे इंग्रजीत, खाली मराठी अर्थ · उत्तर तपासण्यासाठी पर्याय निवडा

Q1. The order and degree of (d²y/dx²)³ + (dy/dx)⁴ + y = 0 are:

(d²y/dx²)³ + (dy/dx)⁴ + y = 0 ची कोटी आणि घात किती?

Q2. The integrating factor of dy/dx + (2/x)y = x is:

dy/dx + (2/x)y = x चा संकलन गुणक कोणता?

Q3. The general solution of y″ − 5y′ + 6y = 0 is:

y″ − 5y′ + 6y = 0 ची सर्वसाधारण उकल कोणती?

Q4. The general solution of the homogeneous equation dy/dx = (x + y)/x is:

dy/dx = (x + y)/x या समघाती समीकरणाची सर्वसाधारण उकल कोणती?

↑ विषयसूचीकडे परत

गणित · त्रिकोणमिती · विषय 12 / 24

त्रिकोणमितीय नित्यसमानता आणि समीकरणे

Trigonometric Identities and Equations

पूर्ण झाले म्हणून खूण करा

असं समजा…

गावच्या जत्रेतला आकाशपाळणा

गावच्या जत्रेत तुम्ही आकाशपाळण्यात बसला आहात. पाळण्याची त्रिज्या 1 एकक माना. पाळणा आडव्या रेषेपासून θ कोनातून फिरला की, मधल्या आसापासून तुमच्या बैठकीची उंची असते sin θ आणि आसापासून आडवे अंतर असते cos θ. पाळणा कसाही फिरो, तुमची बैठक आसापासून नेहमी बरोबर 1 एकक अंतरावरच असते. म्हणून पायथागोरसच्या प्रमेयानुसार (cos θ)² + (sin θ)² = 1. हीच सर्वांत महत्त्वाची नित्यसमानता (Identity) आहे, आणि बाकीच्या बहुतेक नित्यसमानता हिच्यापासूनच तयार होतात.

हाच पाळणा त्रिकोणमितीय समीकरणे (Trigonometric equations) सुद्धा समजावून सांगतो. स्वतःलाच विचारा, “माझी बैठक ½ उंचीवर कधी असते?” एका फेरीत तुम्ही त्या उंचीवरून दोनदा जाता: एकदा वर जाताना (θ = 30°) आणि एकदा खाली येताना (θ = 180° − 30° = 150°). आणि 360° ची एक पूर्ण फेरी झाली की सगळे पुन्हा तसेच घडते. म्हणून त्रिकोणमितीय समीकरणाला एकच उत्तर नसते; उत्तरांचे एक अख्खे कुटुंब असते, जे पूर्णांक n वापरून लिहितात. यालाच सर्वसाधारण उकल (General solution) म्हणतात.

रोजच्या जीवनात	परीक्षेच्या विषयात
पाळणा किती कोनातून फिरला	θ
आसापासून बैठकीची उंची (त्रिज्या 1)	sin θ
आसापासून बैठकीचे आडवे अंतर	cos θ
बैठक नेहमी आसापासून 1 एकक अंतरावर	sin²θ + cos²θ = 1
एका फेरीत तीच उंची दोनदा, आणि प्रत्येक फेरीत पुन्हा	sin θ = sin α ⇒ θ = nπ + (−1)ⁿα

संकल्पना

त्रिकोणमितीय नित्यसमानता (Identity) प्रत्येक कोनासाठी सत्य असते; समीकरण (Equation) मात्र काही ठराविक कोनांसाठीच सत्य असते. नित्यसमानता ही सरळरूप देण्यासाठी किंवा सिद्ध करण्यासाठी वापरायची साधने आहेत; समीकरणे सोडवायची असतात.

बहुतेक वेळा सरळरूप देताना सूत्रांचे तीन गट वापरले जातात: पायथागोरसच्या नित्यसमानता (sin²θ + cos²θ = 1 आणि तिची भावंडे), संयुक्त कोनांची सूत्रे (Compound-angle formulas: sin(A ± B), cos(A ± B)), आणि बहुपट कोनांची सूत्रे (Multiple-angle formulas: sin 2A, cos 2A, sin 3A …). cos 2A च्या सूत्राची तीन रूपे आहेत; जे पद नको आहे ते नाहीसे करणारे रूप निवडा.

sin, cos आणि tan यांची मूल्ये पुन्हा पुन्हा येतात (sin आणि cos चा आवर्तनकाल (Period) 2π, tan चा π), म्हणून प्रत्येक त्रिकोणमितीय समीकरणाला अनंत उकली असतात. समीकरणाला sin θ = sin α, cos θ = cos α किंवा tan θ = tan α यांपैकी एका रूपात आणा, आणि मग सर्वसाधारण उकल लिहा.

महत्त्वाचे मुद्दे व सूत्रे

sin²θ + cos²θ = 1; 1 + tan²θ = sec²θ; 1 + cot²θ = cosec²θ
sin(A ± B) = sin A cos B ± cos A sin B; cos(A ± B) = cos A cos B ∓ sin A sin B; tan(A ± B) = (tan A ± tan B)/(1 ∓ tan A tan B)
sin 2A = 2 sin A cos A; cos 2A = cos²A − sin²A = 1 − 2 sin²A = 2 cos²A − 1; tan 2A = 2 tan A/(1 − tan²A)
sin 3A = 3 sin A − 4 sin³A; cos 3A = 4 cos³A − 3 cos A
sin C + sin D = 2 sin((C + D)/2) cos((C − D)/2); cos C + cos D = 2 cos((C + D)/2) cos((C − D)/2)
सर्वसाधारण उकली: sin θ = sin α ⇒ θ = nπ + (−1)ⁿα; cos θ = cos α ⇒ θ = 2nπ ± α; tan θ = tan α ⇒ θ = nπ + α
sin θ = 0 ⇒ θ = nπ; cos θ = 0 ⇒ θ = (2n + 1)π/2; येथे n कोणताही पूर्णांक आहे

सोडवलेले उदाहरण

2 cos²θ + 3 sin θ = 0 ची सर्वसाधारण उकल काढा.

उकल पाहा

cos²θ ऐवजी 1 − sin²θ लिहा: 2 − 2 sin²θ + 3 sin θ = 0, म्हणजेच 2 sin²θ − 3 sin θ − 2 = 0.
अवयव पाडा: (2 sin θ + 1)(sin θ − 2) = 0. sin θ = 2 अशक्य आहे, म्हणून sin θ = −1/2.
sin θ = −1/2 = sin(−π/6), म्हणून θ = nπ + (−1)ⁿ(−π/6).

उत्तर: θ = nπ + (−1)ⁿ(−π/6), n ∈ ℤ

परीक्षेसाठी झटपट युक्ती

पर्याय दिलेल्या “सरळरूप द्या” प्रकारच्या प्रश्नांत, प्रश्नात आणि प्रत्येक पर्यायात θ = 30° किंवा 45° असा सोयीचा कोन ठेवून पाहा. (1 − cos 2θ)/sin 2θ मध्ये θ = 30° ठेवल्यास: (1 − ½)/(√3/2) = 1/√3, आणि पर्यायांपैकी फक्त tan θ चेच मूल्य 1/√3 येते. (येथे 45° टाळा: तिथे tan आणि cot दोन्ही 1 असतात, त्यामुळे त्यांच्यातला फरक कळत नाही.)

नेहमीच्या चुका

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंतून sin θ (किंवा cos θ) कधीही रद्द करू नका; ज्या उकलींसाठी ते 0 असते त्या हरवतात. त्याऐवजी त्याचा सामाईक अवयव काढा.
sin θ = 2 सारखी मूल्ये नाकारा: sin आणि cos नेहमी −1 आणि 1 यांच्या दरम्यानच असतात.
cos θ = cos α ची सर्वसाधारण उकल 2nπ ± α आहे, nπ + (−1)ⁿα नाही. sin आणि cos ची रूपे एकमेकांत मिसळू नका.

सराव · प्रश्न परीक्षेप्रमाणे इंग्रजीत, खाली मराठी अर्थ · उत्तर तपासण्यासाठी पर्याय निवडा

Q1. The value of sin²30° + cos²60° + tan²45° is:

sin²30° + cos²60° + tan²45° चे मूल्य आहे:

Q2. (1 − cos 2θ)/sin 2θ is equal to:

(1 − cos 2θ)/sin 2θ हे कशाबरोबर असते:

Q3. The value of cos 15° − sin 15° is:

cos 15° − sin 15° चे मूल्य आहे:

Q4. The general solution of tan 2θ = √3 is:

tan 2θ = √3 ची सर्वसाधारण उकल आहे:

↑ विषयसूचीकडे परत

गणित · त्रिकोणमिती · विषय 13 / 24

त्रिकोणांची उकल, उंची आणि अंतर

Solution of Triangles, Heights and Distances

पूर्ण झाले म्हणून खूण करा

असं समजा…

प्रजासत्ताकदिनी शाळेच्या ध्वजस्तंभाची उंची शोधणे

26 जानेवारीला पीटीचे सर विचारतात: आपल्या शाळेचा ध्वजस्तंभ किती उंच आहे? स्तंभावर चढायला कोणालाच परवानगी नाही. मग तुम्ही स्तंभाच्या पायथ्यापासून 20 m अंतरावर उभे राहता आणि टोकावरच्या झेंड्याकडे पाहता. तुमची दृष्टिरेषा जमिनीशी जो कोन करते, तो उन्नत कोन (Angle of elevation), 30° आहे. तुमचा डोळा, स्तंभाचा पायथा आणि स्तंभाचे टोक मिळून एक काटकोन त्रिकोण बनतो: 20 m ही कोनालगतची बाजू, आणि उंची ही कोनासमोरची बाजू. म्हणून उंची = 20 × tan 30°.

तुम्ही स्तंभाच्या जवळ गेलात की कोन मोठा होतो; अशी दोन निरीक्षणे घेतली तर स्तंभ किती दूर आहे हे माहीत नसतानाही उंची काढता येते. आणि जेव्हा तीन बिंदूंमध्ये काटकोन नसतो, जसे शाळेच्या मैदानातली कडुलिंबाची तीन झाडे, तेव्हा कोणत्याही त्रिकोणाला लागू पडणारे साइन नियम (Sine rule) आणि कोसाइन नियम (Cosine rule) वापरायचे.

रोजच्या जीवनात	परीक्षेच्या विषयात
तुमचा डोळा, स्तंभाचा पायथा आणि टोक	काटकोन त्रिकोणाचे तीन शिरोबिंदू
तुम्ही स्तंभापासून किती अंतरावर उभे आहात	लगतची बाजू (क्षैतिज अंतर d)
टोक दिसण्यासाठी मान किती वर करावी लागते	उन्नत कोन θ
ध्वजस्तंभाची उंची	समोरची बाजू h = d tan θ
मैदानातली कडुलिंबाची तीन झाडे, काटकोन नसलेली	कोणत्याही त्रिकोणासाठी साइन नियम आणि कोसाइन नियम

संकल्पना

कोणत्याही त्रिकोण ABC मध्ये बाजू a ही कोन A च्या समोर, b ही B च्या समोर आणि c ही C च्या समोर असते. साइन नियम प्रत्येक बाजूचा तिच्यासमोरच्या कोनाशी संबंध जोडतो; कोसाइन नियम तीन बाजूंचा एका कोनाशी संबंध जोडतो. तिन्ही बाजू (किंवा दोन बाजू आणि त्यांमधील कोन) माहीत असतील तेव्हा कोसाइन नियम वापरा; एक कोन आणि त्याच्या समोरची बाजू माहीत असेल तेव्हा साइन नियम वापरा.

उंची आणि अंतर (Heights and distances) यांच्या प्रश्नांत आधी आकृती काढा. उन्नत कोन क्षितिजसमांतर रेषेपासून वरच्या दिशेने मोजतात; अवनत कोन (Angle of depression) क्षितिजसमांतर रेषेपासून खालच्या दिशेने मोजतात. दोन्ही क्षितिजसमांतर रेषा समांतर असल्यामुळे, A पासून B चा अवनत कोन हा B पासून A च्या उन्नत कोनाएवढाच असतो.

tan 30° = 1/√3, tan 45° = 1, tan 60° = √3 ही मूल्ये तोंडपाठ करा; उंचीच्या जवळजवळ प्रत्येक प्रश्नात हीच मूल्ये लागतात.

महत्त्वाचे मुद्दे व सूत्रे

साइन नियम: a/sin A = b/sin B = c/sin C = 2R (R = परिवर्तुळाची त्रिज्या (Circumradius))
कोसाइन नियम: cos A = (b² + c² − a²)/(2bc), म्हणजेच a² = b² + c² − 2bc cos A
प्रक्षेप नियम (Projection rule): a = b cos C + c cos B
क्षेत्रफळ Δ = ½ bc sin A = √[s(s − a)(s − b)(s − c)], s = (a + b + c)/2
R = abc/(4Δ); अंतर्वर्तुळाची त्रिज्या (Inradius) r = Δ/s
उंची h = d tan θ; टोकावरून मोजलेला अवनत कोन = जमिनीवरील बिंदूपासून मोजलेला उन्नत कोन
पायथ्याच्या रेषेत, एकमेकांपासून d अंतरावर असलेल्या दोन बिंदूंपासून उन्नत कोन α आणि β (α > β): h = d tan α tan β/(tan α − tan β)

सोडवलेले उदाहरण

जमिनीवरील एका बिंदूपासून मनोऱ्याच्या टोकाचा उन्नत कोन 30° आहे. मनोऱ्याच्या दिशेने 20 m चालल्यावर तो 60° होतो. मनोऱ्याची उंची काढा.

उकल पाहा

उंची h आणि जवळचे अंतर x माना. तर h = x tan 60° = x√3, आणि h = (x + 20) tan 30° = (x + 20)/√3.
दोन्ही समान करा: x√3 = (x + 20)/√3, म्हणून 3x = x + 20 आणि x = 10 m.
h = 10√3 ≈ 17.32 m.

उत्तर: 10√3 m (सुमारे 17.32 m)

परीक्षेसाठी झटपट युक्ती

30° → 60° असा मनोऱ्याकडे चालत जाण्याचा प्रश्न असेल, तर उंची नेहमी (√3/2) × चाललेले अंतर असते. येथे (√3/2) × 20 = 10√3. शिवाय, अशा वेळी चाललेले अंतर हे दुसऱ्या बिंदूपासून मनोऱ्याच्या टोकापर्यंतच्या अंतराएवढे असते.

नेहमीच्या चुका

h = d tan θ मधील d हे जमिनीवरचे क्षैतिज अंतर आहे, तिरकी दृष्टिरेषा नव्हे.
अवनत कोन क्षितिजसमांतर रेषेपासून मोजतात, इमारतीच्या उभ्या भिंतीपासून नव्हे.
साइन नियमात प्रत्येक बाजूची जोडी तिच्या समोरच्या कोनाशी लावा, शेजारच्या कोनाशी नव्हे.

सराव · प्रश्न परीक्षेप्रमाणे इंग्रजीत, खाली मराठी अर्थ · उत्तर तपासण्यासाठी पर्याय निवडा

Q1. In ΔABC, a = 3, b = 5 and c = 7. Angle C is:

ΔABC मध्ये a = 3, b = 5 आणि c = 7. कोन C आहे:

Q2. A 10 m ladder leans against a wall, making an angle of 60° with the ground. How high up the wall does it reach?

10 m लांबीची शिडी भिंतीला टेकलेली असून ती जमिनीशी 60° चा कोन करते. शिडी भिंतीवर किती उंचीपर्यंत पोहोचते?

Q3. From the top of a 30 m high building, the angle of depression of a car on the road is 30°. How far is the car from the foot of the building?

30 m उंच इमारतीच्या छतावरून रस्त्यावरील एका मोटारीचा अवनत कोन 30° आहे. मोटार इमारतीच्या पायथ्यापासून किती दूर आहे?

Q4. The area of a triangle with sides 13 cm, 14 cm and 15 cm is:

13 cm, 14 cm आणि 15 cm बाजू असलेल्या त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ आहे:

↑ विषयसूचीकडे परत

गणित · त्रिकोणमिती · विषय 14 / 24

व्यस्त त्रिकोणमितीय फलने

Inverse Trigonometric Functions

पूर्ण झाले म्हणून खूण करा

असं समजा…

नागपूरच्या उन्हाळ्यात तापमानावरून वेळ ओळखणे

मे महिन्यातल्या एका दिवशी नागपुरात पहाटेच्या गारव्यापासून तापमान चढत चढत दुपारी रणरणत्या उच्चांकावर जाते आणि रात्रीपर्यंत पुन्हा खाली उतरते. मित्र म्हणाला, “तेव्हा 38°C होते,” तर तुम्हाला वेळ सांगता येणार नाही: 38°C एकदा सकाळी तापमान चढत असताना होते आणि एकदा संध्याकाळी उतरत असताना; शिवाय उद्याही आणि परवाही.

“तापमानावरून वेळ” याचे नेमके एकच उत्तर मिळावे म्हणून एक नियम ठरवावा लागतो: फक्त दिवसाचा, तापमान चढत असतानाचा भागच पाहायचा. मग प्रत्येक तापमानाला बरोबर एकच वेळ जुळते. व्यस्त त्रिकोणमितीय फलन (Inverse trigonometric function) नेमके हेच करते. sin θ एकच मूल्य पुन्हा पुन्हा घेते, म्हणून sin⁻¹ ला उत्तर फक्त अशा एका टप्प्यातूनच द्यायची परवानगी असते जिथे sin सतत वाढत जाते, म्हणजे −π/2 ते π/2. त्या टप्प्यातून निवडलेल्या उत्तराला मुख्य मूल्य (Principal value) म्हणतात.

रोजच्या जीवनात	परीक्षेच्या विषयात
दिवसातली वेळ	कोन θ
त्या वेळचे तापमान	sin θ
सकाळी आणि संध्याकाळी, रोज तेच तापमान	sin एकास-एक नाही: अनेक θ साठी तेच मूल्य
फक्त सकाळचे, चढत्या तापमानाचे तासच पाहायचे असे ठरवणे	sin⁻¹ चा मुख्य विस्तार (Principal range): [−π/2, π/2]
“सकाळी किती वाजता 38°C होते?”	sin⁻¹x: त्या विस्तारातील, ज्याचे sine x आहे असा एकमेव कोन

संकल्पना

sin, cos आणि tan ही फलने एकास-एक (One-one) नाहीत, म्हणून सर्व कोनांवर त्यांचे व्यस्त फलन मिळत नाही. म्हणून प्रत्येकाला अशा मुख्य विस्तारापुरते (Principal range) मर्यादित करतात जिथे ते एकास-एक असते, आणि व्यस्त फलनाची व्याख्या फक्त तिथेच करतात. sin⁻¹x म्हणजे “[−π/2, π/2] मधील ज्या कोनाचे sine x आहे तो कोन”; ते 1/sin x नाही.

या विस्तारांमुळे sin⁻¹(sin θ) = θ फक्त तेव्हाच, जेव्हा θ आधीपासूनच [−π/2, π/2] मध्ये असतो. नाहीतर आधी sin θ हे विस्ताराच्या आतील एखाद्या कोनाचे sine म्हणून लिहा (sin(π − θ) = sin θ इत्यादी वापरून), आणि मग sin⁻¹ काढून टाका.

CET चे बहुतेक प्रश्न पूरक जोड्या (sin⁻¹x + cos⁻¹x = π/2), ऋण मूल्याचे नियम आणि tan⁻¹ च्या बेरजेचे सूत्र यांवरच असतात.

महत्त्वाचे मुद्दे व सूत्रे

sin⁻¹x: प्रांत (Domain) [−1, 1], विस्तार (Range) [−π/2, π/2]
cos⁻¹x: प्रांत [−1, 1], विस्तार [0, π]; tan⁻¹x: प्रांत सर्व वास्तव x, विस्तार (−π/2, π/2)
sin⁻¹x + cos⁻¹x = π/2; tan⁻¹x + cot⁻¹x = π/2; sec⁻¹x + cosec⁻¹x = π/2
sin⁻¹(−x) = −sin⁻¹x; tan⁻¹(−x) = −tan⁻¹x; पण cos⁻¹(−x) = π − cos⁻¹x
tan⁻¹x + tan⁻¹y = tan⁻¹[(x + y)/(1 − xy)], जेव्हा xy < 1
2 tan⁻¹x = tan⁻¹[2x/(1 − x²)], जेव्हा |x| < 1
sin⁻¹(sin θ) = θ फक्त θ हा [−π/2, π/2] मध्ये असेल तेव्हा; cos⁻¹(cos θ) = θ फक्त θ हा [0, π] मध्ये असेल तेव्हा

सोडवलेले उदाहरण

sin⁻¹(sin 5π/6) चे मूल्य काढा.

उकल पाहा

5π/6 हा [−π/2, π/2] मध्ये नाही, म्हणून उत्तर 5π/6 नाही.
sin(5π/6) = sin(π − 5π/6) = sin(π/6).
π/6 मुख्य विस्तारात आहे, म्हणून sin⁻¹(sin π/6) = π/6.

उत्तर: π/6

परीक्षेसाठी झटपट युक्ती

तीन प्रसिद्ध निष्कर्ष लक्षात ठेवा: tan⁻¹(1/2) + tan⁻¹(1/3) = π/4; tan⁻¹1 + tan⁻¹2 + tan⁻¹3 = π; आणि जर sin⁻¹x + sin⁻¹y = θ असेल तर cos⁻¹x + cos⁻¹y = π − θ (कारण प्रत्येक जोडीची बेरीज π/2 असते).

नेहमीच्या चुका

sin⁻¹x म्हणजे (sin x)⁻¹ = cosec x नव्हे.
sin⁻¹(sin 2π/3) = 2π/3 असे लिहिणे. उत्तर π/3 आहे, कारण 2π/3 हा [−π/2, π/2] च्या बाहेर आहे.
cos⁻¹(−1/2) = 2π/3 आहे, −π/3 नाही: cos⁻¹ चा विस्तार [0, π] आहे, त्यात एकही ऋण कोन नाही.

सराव · प्रश्न परीक्षेप्रमाणे इंग्रजीत, खाली मराठी अर्थ · उत्तर तपासण्यासाठी पर्याय निवडा

Q1. The principal value of cos⁻¹(−1/2) is:

cos⁻¹(−1/2) चे मुख्य मूल्य आहे:

Q2. tan⁻¹(1/2) + tan⁻¹(1/3) equals:

tan⁻¹(1/2) + tan⁻¹(1/3) बरोबर आहे:

Q3. The value of sin⁻¹(sin 2π/3) is:

sin⁻¹(sin 2π/3) चे मूल्य आहे:

Q4. If sin⁻¹x + sin⁻¹y = 2π/3, then cos⁻¹x + cos⁻¹y equals:

जर sin⁻¹x + sin⁻¹y = 2π/3 असेल, तर cos⁻¹x + cos⁻¹y बरोबर आहे:

↑ विषयसूचीकडे परत

गणित · संभाव्यता व सांख्यिकी · विषय 15 / 24

संभाव्यता: मूलभूत संकल्पना, परावलंबी आणि स्वतंत्र घटना

Probability: Basics, Dependent and Independent Events

पूर्ण झाले म्हणून खूण करा

असं समजा…

गणपती मंडळाची लकी ड्रॉ सोडत

गणेशोत्सवाच्या शेवटच्या दिवशी मंडळ लकी ड्रॉ काढते. पेटीत 100 चिठ्ठ्या आहेत आणि त्यांपैकी 5 चिठ्ठ्यांवर “बक्षीस” लिहिलेले आहे. एका सोडतीत तुमची शक्यता 100 पैकी 5 आहे. संभाव्यता (Probability) म्हणजे एवढेच: अनुकूल निष्पत्ती ÷ एकूण निष्पत्ती, मात्र प्रत्येक चिठ्ठी निघण्याची शक्यता सारखी असायला हवी.

आता दोन बक्षिसे काढायची आहेत. स्वयंसेवकाने पहिली चिठ्ठी बाजूला ठेवली, तर पेटी बदलते: बक्षिसाची एक चिठ्ठी निघाल्यावर 99 चिठ्ठ्यांत बक्षिसाच्या फक्त 4 उरतात. दुसरी सोडत पहिल्या सोडतीवर अवलंबून असते, म्हणून बदललेल्या शक्यतेने गुणायचे: P(दोन्ही) = 5/100 × 4/99. पण चिठ्ठी परत पेटीत टाकून पेटी हलवली (किंवा दुसरी सोडत दुसऱ्याच मंडळाच्या पेटीतून काढली), तर पहिल्या सोडतीवरून दुसरीबद्दल काहीच कळत नाही: अशा घटना स्वतंत्र (Independent) असतात, आणि सरळ 5/100 × 5/100 असा गुणाकार करायचा.

रोजच्या जीवनात	परीक्षेच्या विषयात
पेटीतल्या सगळ्या चिठ्ठ्या	नमुना अवकाश (Sample space) S
बक्षिसाच्या चिठ्ठ्या	घटना (Event) A; P(A) = n(A)/n(S)
पुढच्या सोडतीआधी चिठ्ठी बाजूला ठेवली	परावलंबी घटना (Dependent events): P(A ∩ B) = P(A) × P(B \| A)
चिठ्ठी परत टाकून पेटी हलवली	स्वतंत्र घटना: P(A ∩ B) = P(A) × P(B)
दोनपैकी किमान एक बक्षीस मिळण्याची शक्यता	P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)

संकल्पना

सर्व निष्पत्ती समसंभाव्य (Equally likely) असतील तेव्हा, P(A) = (A ला अनुकूल निष्पत्तींची संख्या) ÷ (एकूण निष्पत्तींची संख्या). संभाव्यता नेहमी 0 आणि 1 यांच्या दरम्यान असते, आणि P(A न घडणे) = 1 − P(A).

सशर्त संभाव्यता (Conditional probability) P(B | A) म्हणजे A घडली आहे हे माहीत झाल्यावर B घडण्याची संभाव्यता: P(B | A) = P(A ∩ B)/P(A). A घडली हे कळल्याने B ची शक्यता बदलत नसेल, तर A आणि B या स्वतंत्र घटना आहेत, म्हणजे P(A ∩ B) = P(A) P(B). परत न ठेवता (Without replacement) काढल्या तर सोडती परावलंबी असतात; परत ठेवून (With replacement) काढल्या तर स्वतंत्र असतात.

बेझचे प्रमेय (Bayes’ theorem) प्रश्न उलटा फिरवते: एखादा निकाल मिळाला आहे, तर तो कोणत्या कारणामुळे आला असण्याची शक्यता किती? प्रत्येक कारणाचा त्या निकालातला वाटा काढा, आणि मग एकूणाने भागा.

महत्त्वाचे मुद्दे व सूत्रे

P(A) = n(A)/n(S); 0 ≤ P(A) ≤ 1; P(A′) = 1 − P(A)
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B); परस्पर वर्ज्य (Mutually exclusive) म्हणजे P(A ∩ B) = 0
P(B | A) = P(A ∩ B)/P(A)
स्वतंत्र: P(A ∩ B) = P(A) P(B); मग A′ आणि B′ सुद्धा स्वतंत्र असतात
P(किमान एक) = 1 − P(एकही नाही)
बेझ: P(Eᵢ | A) = P(Eᵢ) P(A | Eᵢ) / Σ P(Eⱼ) P(A | Eⱼ)
दोन फासे: 36 निष्पत्ती; बेरीज 7 येण्याचे 6 मार्ग (सर्वाधिक शक्यता असलेली बेरीज)
अनुकूल शक्यता (Odds in favour) a : b म्हणजे P = a/(a + b)

सोडवलेले उदाहरण

एका पिशवीत 5 लाल आणि 3 काळे चेंडू आहेत. परत न ठेवता एकामागून एक दोन चेंडू काढले. दोन्ही लाल असण्याची संभाव्यता काढा.

उकल पाहा

पहिला चेंडू लाल: 5/8.
पहिला लाल निघाला असे दिले असता, 7 चेंडूंत 4 लाल उरतात: P(दुसरा लाल | पहिला लाल) = 4/7.
P(दोन्ही लाल) = 5/8 × 4/7 = 20/56.

उत्तर: 5/14

परीक्षेसाठी झटपट युक्ती

“किमान एक” (At least one) दिसले की 1 − P(एकही नाही) वापरा. 1/3 आणि 1/4 संभाव्यतेने लक्ष्य भेदणाऱ्या दोन नेमबाजांसाठी: P(लक्ष्य भेदले) = 1 − (2/3)(3/4) = 1/2; प्रत्येक प्रकार वेगळा मोजून बेरीज करण्याची गरज नाही.

नेहमीच्या चुका

परस्पर वर्ज्य आणि स्वतंत्र या एकच गोष्टी नाहीत. शून्येतर संभाव्यता असलेल्या दोन घटना एकत्र घडूच शकत नसतील, तर त्या परावलंबी असतात.
परत न ठेवता काढताना, दुसऱ्या सोडतीसाठी अनुकूल संख्या आणि एकूण संख्या दोन्ही एकाने कमी होतात.
स्वतंत्र घटनांसाठीसुद्धा P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A)P(B) असते, P(A) + P(B) नाही.

सराव · प्रश्न परीक्षेप्रमाणे इंग्रजीत, खाली मराठी अर्थ · उत्तर तपासण्यासाठी पर्याय निवडा

Q1. Box I has 3 red and 2 white balls; Box II has 2 red and 3 white balls. A box is chosen at random and a ball drawn from it is red. The probability that it came from Box I is:

पेटी I मध्ये 3 लाल आणि 2 पांढरे चेंडू आहेत; पेटी II मध्ये 2 लाल आणि 3 पांढरे चेंडू आहेत. यादृच्छिकपणे एक पेटी निवडून त्यातून काढलेला चेंडू लाल निघाला. तो पेटी I मधून आला असण्याची संभाव्यता आहे:

Q2. A and B are independent events with P(A) = 0.4 and P(B) = 0.5. Then P(A ∪ B) is:

A आणि B या स्वतंत्र घटना असून P(A) = 0.4 आणि P(B) = 0.5. तर P(A ∪ B) आहे:

Q3. The probability that A hits a target is 1/3 and that B hits it is 1/4. If both fire once independently, the probability that the target is hit is:

A ने लक्ष्य भेदण्याची संभाव्यता 1/3 आणि B ची 1/4 आहे. दोघांनी स्वतंत्रपणे एकदा नेम धरला, तर लक्ष्य भेदले जाण्याची संभाव्यता आहे:

Q4. Two cards are drawn without replacement from a pack of 52. The probability that both are kings is:

52 पत्त्यांच्या कॅटमधून परत न ठेवता दोन पत्ते काढले. दोन्ही राजा असण्याची संभाव्यता आहे:

↑ विषयसूचीकडे परत

गणित · संभाव्यता व सांख्यिकी · विषय 16 / 24

सरासरी, अपस्करण, वैषम्य आणि कुकुदता

Averages, Dispersion, Skewness and Kurtosis

पूर्ण झाले म्हणून खूण करा

असं समजा…

गावच्या दूध डेअरीवरचे संध्याकाळचे दूधसंकलन

रोज संध्याकाळी शेतकरी गावच्या सहकारी दूध डेअरीवर दूध घालतात. एके दिवशी पाच शेतकरी 4, 5, 5, 6 आणि 30 लिटर दूध आणतात. सचिव बेरीज करतात, 50 लिटर, आणि 5 ने भागतात: मध्य (Mean) 10 L आला. पण 10 L कोणीच आणलेले नाही! शेतकऱ्यांना लिटरप्रमाणे रांगेत उभे केले तर मधला शेतकरी 5 L आणतो: तो मध्यक (Median). सर्वांत जास्त वेळा आलेले प्रमाण, तेही 5 L, म्हणजे बहुलक (Mode).

30 L आणणारा एकच मोठा शेतकरी मध्याला नेहमीच्या शेतकऱ्यापेक्षा खूप वर ओढतो. अशी लांब शेपटी उजवीकडे पसरली की मध्य हा मध्यक आणि बहुलक यांच्यापेक्षा वर ओढला जातो, आणि सामग्री धन वैषम्याची (Positively skewed) होते. दुसऱ्या एखाद्या डेअरीतसुद्धा सरासरी 10 L असू शकते, पण तिथे प्रत्येक शेतकरी 9 ते 11 L आणतो. सरासरी तीच, पण पसरण अगदी वेगळी: ही पसरण प्रमाण विचलन (Standard deviation) मोजते. आणि कुकुदता (Kurtosis) सांगते की बहुतेक शेतकरी मधल्या मूल्याभोवती दाटीवाटीने जमले आहेत (टोकदार शिखर) की सपाट पसरले आहेत.

रोजच्या जीवनात	परीक्षेच्या विषयात
प्रत्येक शेतकऱ्याने आणलेले लिटर	निरीक्षणे (Observations) x₁, x₂, …, xₙ
एकूण दूध ÷ शेतकऱ्यांची संख्या	मध्य x̄ = Σx/n
लिटरप्रमाणे रांगेत उभे केल्यावर मधला शेतकरी	मध्यक
शेतकरी सरासरीपेक्षा किती वेगळे आहेत	प्रमाण विचलन σ (अपस्करण)
30 L वाला एकच मोठा शेतकरी सरासरीला नेहमीच्या शेतकऱ्यापेक्षा वर ओढतो	धन वैषम्य: मध्य हा मध्यक आणि बहुलक यांच्यापेक्षा वर ओढला जातो

संकल्पना

सरासरी (मध्यवर्ती प्रवृत्तीची परिमाणे, Measures of central tendency) एक प्रातिनिधिक मूल्य देतात: मध्य, मध्यक, बहुलक. अपस्करण (Dispersion) (विस्तार, चतुर्थक विचलन, मध्य विचलन, प्रमाण विचलन) सांगते की सामग्री किती पसरलेली आहे. दोन सामग्रींचा मध्य सारखा असूनही त्यांची पसरण खूप वेगळी असू शकते.

वैषम्य (Skewness) म्हणजे सममितीचा अभाव. सममित वितरणात मध्य = मध्यक = बहुलक. उजवीकडे लांब शेपटी असेल तर धन वैषम्य (मध्य वर ओढला जातो); डावीकडे लांब शेपटी असेल तर ऋण वैषम्य. कुकुदता (Kurtosis) सांगते की प्रसामान्य वक्राच्या तुलनेत वितरण किती टोकदार आहे.

दोन नियमांमुळे वेळ वाचतो: प्रत्येक मूल्यात एक स्थिरांक मिळवल्यास मध्य बदलतो पण SD बदलत नाही; प्रत्येक मूल्याला k ने गुणल्यास मध्य आणि SD दोन्ही k पट होतात (आणि विचरण k² पट).

महत्त्वाचे मुद्दे व सूत्रे

मध्य x̄ = Σfx/Σf; वर्गीकृत सामग्रीचा मध्यक = l + [(N/2 − cf)/f] × h; वर्गीकृत सामग्रीचा बहुलक = l + [(f₁ − f₀)/(2f₁ − f₀ − f₂)] × h
अनुभवसिद्ध संबंध (Empirical relation; मध्यम वैषम्य असलेल्या सामग्रीसाठी): बहुलक = 3 मध्यक − 2 मध्य (Mode = 3 Median − 2 Mean)
विचरण (Variance) σ² = Σ(x − x̄)²/n = Σx²/n − x̄²; SD σ = √विचरण
विचरणांक (Coefficient of variation) CV = (σ/x̄) × 100; CV कमी म्हणजे अधिक सातत्य
विस्तार (Range) = max − min; चतुर्थक विचलन (Quartile deviation) = (Q₃ − Q₁)/2
y = ax + b ⇒ ȳ = ax̄ + b आणि σᵧ = |a|σₓ (b मिळवल्याने SD बदलत नाही)
कार्ल पिअर्सनचा वैषम्यांक Sk = (Mean − Mode)/σ = 3(Mean − Median)/σ
कुकुदता β₂ = μ₄/μ₂²: β₂ = 3 मध्यकुकुदी (Mesokurtic, प्रसामान्य), β₂ > 3 तुंगकुकुदी (Leptokurtic, टोकदार), β₂ < 3 सपाटकुकुदी (Platykurtic, सपाट)

सोडवलेले उदाहरण

2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9 यांचा मध्य आणि प्रमाण विचलन काढा.

उकल पाहा

मध्य = (2 + 4 + 4 + 4 + 5 + 5 + 7 + 9)/8 = 40/8 = 5.
Σx² = 4 + 16 + 16 + 16 + 25 + 25 + 49 + 81 = 232.
विचरण = Σx²/n − x̄² = 232/8 − 25 = 29 − 25 = 4, म्हणून σ = √4.

उत्तर: मध्य = 5, SD = 2

परीक्षेसाठी झटपट युक्ती

पहिल्या n नैसर्गिक संख्यांसाठी: मध्य = (n + 1)/2 आणि विचरण = (n² − 1)/12. म्हणून 1, 2, 3, 4, 5 यांचे विचरण थेट (25 − 1)/12 = 2.

नेहमीच्या चुका

प्रत्येक मूल्यात एक स्थिरांक मिळवल्याने SD किंवा विचरण बदलत नाही.
k ने गुणल्यास विचरण k² पट होते, k पट नाही.
प्रश्नात वेगळे सांगितले नसेल तर CET समष्टीचे (Population) सूत्र (n ने भागणे) वापरते. n − 1 ने भागल्यास वेगळे उत्तर येते.

सराव · प्रश्न परीक्षेप्रमाणे इंग्रजीत, खाली मराठी अर्थ · उत्तर तपासण्यासाठी पर्याय निवडा

Q1. A distribution has β₂ = 2.4. It is:

एका वितरणासाठी β₂ = 2.4 आहे. ते वितरण आहे:

Q2. For a moderately skewed distribution, mean = 40 and median = 42. The mode is approximately:

मध्यम वैषम्य असलेल्या वितरणासाठी मध्य = 40 आणि मध्यक = 42. बहुलक अंदाजे आहे:

Q3. The variance of the observations 1, 2, 3, 4, 5 (population variance, dividing by n) is:

1, 2, 3, 4, 5 या निरीक्षणांचे विचरण (समष्टी विचरण, n ने भागून) आहे:

Q4. The SD of a set of observations is 4. Each observation is multiplied by 3 and then 5 is added. The new SD is:

काही निरीक्षणांचे SD 4 आहे. प्रत्येक निरीक्षणाला 3 ने गुणून मग 5 मिळवले. नवीन SD आहे:

↑ विषयसूचीकडे परत

गणित · संभाव्यता व सांख्यिकी · विषय 17 / 24

यादृच्छिक चल आणि संभाव्यता वितरणे

Random Variables and Probability Distributions

पूर्ण झाले म्हणून खूण करा

असं समजा…

देवगड हापूस आंब्यांच्या पेट्या भरणे

देवगडचा एक व्यापारी हापूस आंबे 12 च्या पेटीत भरतो. प्रत्येक आंबा, इतरांवर अवलंबून न राहता, 10% शक्यतेने खराब निघतो. एक पेटी उघडा आणि खराब आंबे मोजा: 0, 1, 2 किंवा जास्त निघू शकतात. ही संख्या म्हणजे यादृच्छिक चल (Random variable) X. 12 पैकी प्रत्येक आंबा ही सारख्याच शक्यतेची एक स्वतंत्र हो/नाही चाचणी आहे, म्हणून X हा n = 12 आणि p = 0.1 असलेले द्विपदी वितरण (Binomial distribution) पाळतो. संपूर्ण हंगामात दर पेटीमागे खराब आंब्यांची सरासरी np = 1.2 वर स्थिरावते. दीर्घकाळातील या सरासरीला अपेक्षित मूल्य (Expectation) E(X) म्हणतात.

आता 2,500 आंब्यांपैकी फक्त 1 आंब्याला लागणाऱ्या एका अतिशय दुर्मीळ किडीचा विचार करा. 5,000 आंब्यांच्या ट्रकमध्ये n खूप मोठा आणि p खूप लहान आहे, पण np = 2 ही संख्या अगदी आटोपशीर आहे. अशा दुर्मीळ घटनांची संख्या λ = np असलेले पॉयसाँ वितरण (Poisson distribution) पाळते. शेवटी आंब्यांचे वजन करा: बहुतेक आंबे 250 g च्या आसपास असतात, खूप हलके किंवा खूप जड थोडेच असतात, आणि आलेख सममित घंटेसारखा दिसतो. हेच प्रसामान्य वितरण (Normal distribution).

रोजच्या जीवनात	परीक्षेच्या विषयात
पेटीतल्या खराब आंब्यांची संख्या	यादृच्छिक चल X
12 आंबे, प्रत्येक सारख्याच 0.1 शक्यतेने खराब किंवा चांगला	द्विपदी: n = 12, p = 0.1
हंगामभरात दर पेटीमागे सरासरी खराब आंबे	अपेक्षित मूल्य E(X) = np = 1.2
प्रचंड ट्रकभर मालात दुर्मीळ कीड	λ = np असलेले पॉयसाँ; मध्य = विचरण = λ
250 g च्या आसपास दाटलेली आंब्यांची वजने	प्रसामान्य वितरण: μ भोवती केंद्रित घंटाकृती वक्र

संकल्पना

यादृच्छिक चल प्रयोगाच्या प्रत्येक निष्पत्तीला एक संख्या देतो. विविक्त (Discrete) यादृच्छिक चलाच्या प्रत्येक मूल्याला एक संभाव्यता असते; त्या सर्व संभाव्यतांची बेरीज 1 असलीच पाहिजे. त्याचे अपेक्षित मूल्य E(X) = Σx p(x) ही दीर्घकाळातील सरासरी असते, आणि त्याचे विचरण (Variance) त्या सरासरीभोवतीची पसरण मोजते.

द्विपदी वितरण, यशाची सारखीच संभाव्यता p असलेल्या n स्वतंत्र चाचण्यांतील यशांची संख्या मोजते. पॉयसाँ वितरण ठराविक अवधीत घडणाऱ्या दुर्मीळ घटनांची संख्या मोजते; n मोठा आणि p लहान असताना, λ = np घेऊन, ते द्विपदी वितरणाचे सीमारूप असते. पॉयसाँसाठी मध्य आणि विचरण दोन्ही λ असतात.

प्रसामान्य वितरण हा एक सतत (Continuous), सममित, घंटाकृती वक्र आहे. मध्य = मध्यक = बहुलक, वक्राखालील एकूण क्षेत्रफळ 1, आणि संभाव्यता म्हणजे क्षेत्रफळ. सारणी वापरण्यासाठी कोणत्याही प्रसामान्य X चे प्रमाणित प्रसामान्य (Standard normal) Z = (X − μ)/σ मध्ये रूपांतर करतात.

महत्त्वाचे मुद्दे व सूत्रे

विविक्त यादृच्छिक चल (RV): Σp(x) = 1; E(X) = Σx p(x); Var(X) = E(X²) − [E(X)]²
E(aX + b) = aE(X) + b; Var(aX + b) = a² Var(X)
द्विपदी B(n, p): P(X = r) = ⁿCᵣ pʳ qⁿ⁻ʳ, q = 1 − p; मध्य np, विचरण npq (विचरण < मध्य)
पॉयसाँ: P(X = r) = e^−λ λʳ / r!; मध्य = विचरण = λ
प्रसामान्य N(μ, σ²): सममित; मध्य = मध्यक = बहुलक; एकूण क्षेत्रफळ 1; एका बिंदूसाठी P(X = a) = 0
प्रमाणित प्रसामान्य Z = (X − μ)/σ चा मध्य 0 आणि SD 1 असते
सुमारे 68%, 95% आणि 99.7% मूल्ये मध्यापासून अनुक्रमे 1, 2 आणि 3 SD च्या आत असतात
सतत यादृच्छिक चल: f(x) ≥ 0 आणि एकूण क्षेत्रफळ ∫f(x) dx = 1

सोडवलेले उदाहरण

एका द्विपदी वितरणाचा मध्य 4 आणि विचरण 3 आहे. n आणि p काढा.

उकल पाहा

np = 4 आणि npq = 3, म्हणून q = 3/4.
p = 1 − q = 1/4.
n = 4 ÷ p = 4 ÷ (1/4) = 16.

उत्तर: n = 16, p = 1/4

परीक्षेसाठी झटपट युक्ती

द्विपदी वितरणासाठी विचरण ÷ मध्य = q. म्हणून प्रश्नात “मध्य 3 आणि विचरण 4 असलेले द्विपदी वितरण” असे असेल तर ते अशक्य आहे (q हा 1 पेक्षा जास्त येईल). पर्याय पटकन बाद करण्यासाठी याचा वापर करा.

नेहमीच्या चुका

पॉयसाँ: मध्य = विचरण (मध्य = प्रमाण विचलन नव्हे).
द्विपदी वितरणाचे विचरण npq आहे, np नाही.
सतत वितरणात एखाद्या नेमक्या एका मूल्याची संभाव्यता 0 असते; संभाव्यता फक्त अंतरालांनाच (Intervals) असते.

सराव · प्रश्न परीक्षेप्रमाणे इंग्रजीत, खाली मराठी अर्थ · उत्तर तपासण्यासाठी पर्याय निवडा

Q1. A random variable X takes values 0, 1, 2 with probabilities 1/4, 1/2, 1/4. Its variance is:

यादृच्छिक चल X हा 0, 1, 2 ही मूल्ये अनुक्रमे 1/4, 1/2, 1/4 या संभाव्यतेने घेतो. त्याचे विचरण आहे:

Q2. For a binomial distribution with n = 10 and p = 0.4, the variance is:

n = 10 आणि p = 0.4 असलेल्या द्विपदी वितरणाचे विचरण आहे:

Q3. For a Poisson variable X, P(X = 1) = P(X = 2). The variance of X is:

पॉयसाँ चल X साठी P(X = 1) = P(X = 2). X चे विचरण आहे:

Q4. Marks are normally distributed with mean 50 and SD 10. About what percentage of students score between 40 and 60?

गुण प्रसामान्यपणे वितरित असून मध्य 50 आणि SD 10 आहे. सुमारे किती टक्के विद्यार्थ्यांना 40 ते 60 दरम्यान गुण मिळतात?

↑ विषयसूचीकडे परत

गणित · संभाव्यता व सांख्यिकी · विषय 18 / 24

सहसंबंध, समाश्रयण आणि वक्र बसवणे

Correlation, Regression and Curve Fitting

पूर्ण झाले म्हणून खूण करा

असं समजा…

पुण्यातील कोचिंग क्लासमधील अभ्यासाचे तास आणि गुण

पुण्यातील एका कोचिंग क्लासमधले सर 30 विद्यार्थ्यांपैकी प्रत्येकाचे रोजचे अभ्यासाचे तास (x) आणि सराव परीक्षेतले गुण (y) नोंदवतात. आलेखावर ठिपके काढले तर ते वरच्या दिशेने झुकलेले दिसतात: जास्त तास, जास्त गुण. ठिपके एका सरळ रेषेला किती घट्ट चिकटून आहेत, ते म्हणजे सहसंबंध गुणांक (Correlation coefficient) r: +1 च्या जवळ म्हणजे घट्ट आणि चढती रेषा, 0 च्या जवळ म्हणजे आकार नसलेला ठिपक्यांचा ढग, −1 च्या जवळ म्हणजे घट्ट आणि उतरती रेषा.

आता सर त्या ढगातून एक पट्टी ठेवतात. “सर्वोत्तम” जागा ती, जिथे ठिपक्यांपासूनची उभी चुकलेली अंतरे वर्ग करून मिळवल्यावर ती बेरीज सर्वांत लहान येते: हीच न्यूनतम वर्ग (Least squares) रेषा. तासांवरून गुणांचा अंदाज बांधण्यासाठी ते ती वापरतात: ही x वरील y ची (y on x) समाश्रयण रेषा. पण ज्या पालकांना फक्त गुण माहीत आहेत आणि तासांचा अंदाज बांधायचा आहे, त्यांना वेगळी रेषा लागते, y वरील x ची (x on y). या दोन्ही रेषा नेहमी (x̄, ȳ) या बिंदूत, म्हणजे “सरासरी विद्यार्थ्या”पाशी एकमेकींना छेदतात.

रोजच्या जीवनात	परीक्षेच्या विषयात
प्रत्येक विद्यार्थ्याचे (तास, गुण)	विकीर्ण आकृतीवरील (Scatter diagram) बिंदू (x, y)
ठिपके एका रेषेला किती घट्ट धरून आहेत	सहसंबंध गुणांक r, −1 ≤ r ≤ 1
एकूण वर्ग-चुका सर्वांत लहान येतील अशी ठेवलेली पट्टी	न्यूनतम वर्ग पद्धतीची सर्वोत्तम रेषा (Line of best fit)
तासांवरून गुण विरुद्ध गुणांवरून तास यांचा अंदाज	दोन रेषा: x वरील y (उतार b_yx) आणि y वरील x (b_xy)
दोन्ही रेषा जिथे भेटतात तो “सरासरी विद्यार्थी”	(x̄, ȳ) हा बिंदू

संकल्पना

सहसंबंध (Correlation) दोन चलांमधील रेषीय संबंधाची तीव्रता आणि दिशा मोजतो. कार्ल पिअर्सनचा r = cov(x, y)/(σₓσᵧ) हा −1 आणि +1 यांच्या दरम्यान असतो, आणि कोणत्याही चलाचा आरंभबिंदू सरकवला किंवा परिमाण (Scale) बदलले तरी तो बदलत नाही (फक्त ऋण परिमाणाने गुणल्यास चिन्ह उलटते).

समाश्रयण (Regression) अंदाज बांधण्यासाठी वापरायची रेषा देते. दोन रेषा असतात: x वरील y (y चा अंदाज बांधण्यासाठी) आणि y वरील x (x चा अंदाज बांधण्यासाठी). त्यांचे उतार म्हणजे समाश्रयण गुणांक (Regression coefficients) b_yx आणि b_xy; त्यांचा गुणाकार r² असतो, आणि r ला दोन्ही गुणांकांचे सामाईक चिन्ह मिळते.

न्यूनतम वर्ग पद्धतीने वक्र बसवणे (Curve fitting by least squares) म्हणजे वर्ग-त्रुटींची बेरीज सर्वांत कमी होईल असे स्थिरांक निवडणे. y = a + bx या सरळ रेषेसाठी यातून दोन प्रसामान्य समीकरणे (Normal equations) मिळतात, जी सोडवून a आणि b काढायचे.

महत्त्वाचे मुद्दे व सूत्रे

r = cov(x, y)/(σₓσᵧ), सहविचरण (Covariance) cov(x, y) = Σ(x − x̄)(y − ȳ)/n; −1 ≤ r ≤ 1
x वरील y: y − ȳ = b_yx(x − x̄), b_yx = r σᵧ/σₓ
y वरील x: x − x̄ = b_xy(y − ȳ), b_xy = r σₓ/σᵧ
b_yx × b_xy = r²; r = ±√(b_yx b_xy), चिन्ह गुणांकांचेच
दोन्ही समाश्रयण रेषा (x̄, ȳ) मधून जातात; r = ±1 असल्यास त्या एकरूप होतात
न्यूनतम वर्ग रेषा y = a + bx: Σy = na + bΣx आणि Σxy = aΣx + bΣx²
स्पिअरमनचा क्रम सहसंबंध गुणांक (Rank correlation): R = 1 − 6Σd²/[n(n² − 1)]

सोडवलेले उदाहरण

दोन समाश्रयण रेषा 3x + 2y = 26 आणि 6x + y = 31 आहेत. x̄, ȳ आणि r काढा.

उकल पाहा

मध्य: दोन्ही समीकरणे एकत्र सोडवा. 6x + y = 31 वरून y = 31 − 6x; मग 3x + 62 − 12x = 26, म्हणून x = 4 आणि y = 7.
3x + 2y = 26 ही x वरील y रेषा मानून पाहा: y = 13 − 1.5x, म्हणून b_yx = −1.5. मग 6x + y = 31 ही y वरील x रेषा: x = 31/6 − y/6, म्हणून b_xy = −1/6.
r² = (−1.5)(−1/6) = 0.25 ≤ 1, म्हणून ही निवड बरोबर आहे. दोन्ही गुणांक ऋण आहेत, म्हणून r = −0.5.

उत्तर: x̄ = 4, ȳ = 7, r = −0.5

परीक्षेसाठी झटपट युक्ती

कोणती रेषा कोणती हे सांगितले नसेल, तर अंदाजाने ठरवा. b_yx × b_xy हा 1 पेक्षा मोठा आला, तर तुमचा अंदाज चुकला; रेषांची अदलाबदल करा.

नेहमीच्या चुका

b_yx × b_xy = r², r नाही. वर्गमूळ घ्या आणि गुणांकांचे चिन्ह लावा.
दोन समाश्रयण रेषा वेगवेगळ्या असतात (r = ±1 असल्याशिवाय). x चा अंदाज बांधण्यासाठी x वरील y ही रेषा वापरू नका.
सहसंबंध जास्त असला म्हणजे एका चलामुळे दुसरे घडते असे सिद्ध होत नाही.

सराव · प्रश्न परीक्षेप्रमाणे इंग्रजीत, खाली मराठी अर्थ · उत्तर तपासण्यासाठी पर्याय निवडा

Q1. If b_yx = 0.8 and b_xy = 0.45, the correlation coefficient r is:

जर b_yx = 0.8 आणि b_xy = 0.45 असेल, तर सहसंबंध गुणांक r आहे:

Q2. The two regression lines are x + 2y = 5 and 2x + 3y = 8. The means (x̄, ȳ) are:

दोन समाश्रयण रेषा x + 2y = 5 आणि 2x + 3y = 8 आहेत. मध्य (x̄, ȳ) आहेत:

Q3. The least squares line y = a + bx for the points (1, 2), (2, 4), (3, 5) is:

(1, 2), (2, 4), (3, 5) या बिंदूंसाठी न्यूनतम वर्ग रेषा y = a + bx आहे:

Q4. For 5 pairs of ranks, Σd² = 4. Spearman’s rank correlation coefficient is:

क्रमांकांच्या 5 जोड्यांसाठी Σd² = 4. स्पिअरमनचा क्रम सहसंबंध गुणांक आहे:

↑ विषयसूचीकडे परत

गणित · अंकगणित · विषय 19 / 24

गुणोत्तर, प्रमाण आणि शेकडेवारी

Ratio, Proportion and Percentage

पूर्ण झाले म्हणून खूण करा

असं समजा…

रमेशकाकांच्या किराणा दुकानातला एक दिवस

रमेशकाका दोन प्रतींचा तांदूळ विकतात, ₹40/kg आणि ₹60/kg. एका गिऱ्हाइकाला ₹48/kg चा तांदूळ हवा आहे, म्हणून ते दोन्ही मिसळतात. स्वस्त तांदळाचा प्रत्येक किलो ठरवलेल्या भावापेक्षा ₹8 ने कमी आहे आणि महाग तांदळाचा प्रत्येक किलो ₹12 ने जास्त; तोल साधायचा तर स्वस्त तांदूळ जास्त घ्यावा लागतो: स्वस्त : महाग = 12 : 8 = 3 : 2. तोल साधण्याचा हा नियम म्हणजे मिश्रण नियम (Alligation), आणि उत्तर येते गुणोत्तर (Ratio) रूपात.

दिवाळीत त्यांच्या फलकावर लिहिलेले असते, “10% सूट, शिवाय आणखी 20% सूट”. शेकडेवारी (Percentage) म्हणजे फक्त “दर शेकडा”. ₹100 च्या वस्तूवर पहिल्या सवलतीने किंमत ₹90 होते, आणि आणखी 20% सूट ₹90 वर मिळते, ₹100 वर नाही: शेवटी ₹72, म्हणजे एकूण 28% कपात, 30% नाही. आणि साखर 25% महाग झाली, तर महिन्याचा खर्च तेवढाच ठेवायचा असेल तर कुटुंबाला 20% कमी साखर घ्यावी लागते, 25% नाही, कारण ते 25% जुन्या किमतीवर मोजलेले होते.

रोजच्या जीवनात	परीक्षेच्या विषयात
₹40 आणि ₹60 चा तांदूळ मिसळून ₹48 ला विकणे	मिश्रण नियम: गुणोत्तर = (60 − 48) : (48 − 40) = 3 : 2
सवलतीच्या फलकावरचे “दर शंभर रुपयांमागे”	शेकडेवारी = (भाग/संपूर्ण) × 100
10% सूट आणि मग आणखी 20% सूट	क्रमागत बदल (Successive change): −10 − 20 + (10 × 20)/100 = −28%
साखर 25% महाग, महिन्याचा खर्च तेवढाच	वापर 25/(100 + 25) × 100 = 20% ने कमी करा
नफा खरेदी किमतीवर, सूट छापील किमतीवर मोजतात	शेकडेवारीचा पाया (Base) नेहमी तपासा

संकल्पना

गुणोत्तर a : b एकाच प्रकारच्या दोन राशींची तुलना करते; प्रमाण (Proportion) म्हणजे दोन गुणोत्तरे समान असणे, a : b = c : d, म्हणजेच ad = bc. एखादी रक्कम दिलेल्या गुणोत्तरात वाटायची असेल, तर गुणोत्तराचे भाग मिळवा आणि प्रत्येकाला एकूणातील त्याचा वाटा द्या.

शेकडेवारी म्हणजे छेद 100 असलेले गुणोत्तर. प्रत्येक शेकडेवारी “कशाची तरी” असते: नफा-तोट्याची शेकडेवारी खरेदी किमतीवर (CP), सुटीची शेकडेवारी छापील किमतीवर (MP), आणि बदलाची शेकडेवारी मूळ मूल्यावर मोजतात.

शेकडेवारीतले दोन बदल एकामागून एक झाले, तर दुसरा बदल नव्या मूल्यावर होतो. म्हणून बदल a + b + ab/100 असे एकत्र होतात (घटीसाठी ऋण चिन्ह वापरा). सुरुवातीचे मूल्य 100 घेतले की असे सगळे प्रश्न सोपे होतात.

महत्त्वाचे मुद्दे व सूत्रे

a : b = c : d ⇒ ad = bc; a आणि b चे मध्य प्रमाणपद (Mean proportional) = √(ab); तृतीय प्रमाणपद (Third proportional) = b²/a
N ला a : b : c गुणोत्तरात वाटल्यास → वाटे aN/(a + b + c), bN/(a + b + c), cN/(a + b + c)
y चे x% = x चे y%
a% आणि b% क्रमागत बदल: निव्वळ बदल = a + b + ab/100
किंमत r% वाढली ⇒ खर्च तेवढाच ठेवण्यासाठी वापर r/(100 + r) × 100% ने कमी करा
A हा B पेक्षा r% जास्त असेल, तर B हा A पेक्षा r/(100 + r) × 100% कमी असतो
नफा% (Profit%) = (SP − CP)/CP × 100; सूट% (Discount%) = (MP − SP)/MP × 100
मिश्रण नियम: स्वस्त : महाग = (महाग किंमत − सरासरी किंमत) : (सरासरी किंमत − स्वस्त किंमत)

सोडवलेले उदाहरण

एक दुकानदार वस्तूंवर खरेदी किमतीपेक्षा 40% जास्त किंमत छापतो आणि 20% सूट देतो. त्याच्या नफ्याची शेकडेवारी काढा.

उकल पाहा

CP = ₹100 माना. छापील किंमत = ₹140.
₹140 वर 20% सूट = ₹28, म्हणून SP = ₹112.
CP ₹100 वर नफा = 112 − 100 = ₹12. सूत्राने पडताळा: 40 − 20 + (40 × −20)/100 = 12.

उत्तर: 12% नफा

परीक्षेसाठी झटपट युक्ती

शेकडेवारीची प्रत्येक साखळी 100 ने सुरू करा. “20% वाढ मग 20% घट”: 100 → 120 → 96, म्हणजे 4% तोटा, दोन सेकंदांत उत्तर.

नेहमीच्या चुका

10% आणि 20% अशा दोन क्रमागत सवलती मिळून 28% होतात, 30% नाही.
A हा B पेक्षा 25% जास्त असेल, तर B हा A पेक्षा 20% कमी असतो, 25% नाही (पाया बदलतो).
20% वाढ आणि नंतर 20% घट म्हणजे “काहीच बदल नाही” असे नाही; ती 4% घट आहे.

सराव · प्रश्न परीक्षेप्रमाणे इंग्रजीत, खाली मराठी अर्थ · उत्तर तपासण्यासाठी पर्याय निवडा

Q1. A salary is first increased by 20% and then decreased by 20%. The net change is:

पगारात आधी 20% वाढ झाली आणि नंतर 20% घट झाली. निव्वळ बदल आहे:

Q2. ₹1,800 is divided among A, B and C in the ratio 2 : 3 : 4. C’s share is:

₹1,800 ही रक्कम A, B आणि C यांच्यात 2 : 3 : 4 या गुणोत्तरात वाटली. C चा वाटा आहे:

Q3. In what ratio must rice at ₹30/kg be mixed with rice at ₹45/kg to get a mixture worth ₹36/kg?

₹30/kg चा तांदूळ ₹45/kg च्या तांदळात कोणत्या गुणोत्तरात मिसळावा म्हणजे मिश्रणाचा भाव ₹36/kg होईल?

Q4. A’s income is 25% more than B’s. By what percent is B’s income less than A’s?

A चे उत्पन्न B पेक्षा 25% जास्त आहे. B चे उत्पन्न A पेक्षा किती टक्क्यांनी कमी आहे?

↑ विषयसूचीकडे परत

गणित · अंकगणित · विषय 20 / 24

काळ आणि काम (नळ आणि टाकीसह)

Time and Work (with Pipes and Cisterns)

पूर्ण झाले म्हणून खूण करा

असं समजा…

सोसायटीची ओव्हरहेड टाकी भरणे

तुमच्या हाउसिंग सोसायटीची ओव्हरहेड टाकी दोन मोटरींनी भरतात. मोटर A एकटी टाकी 6 तासांत भरते, मोटर B एकटी 4 तासांत. दोन्ही एकत्र चालवल्या तर किती वेळ लागेल? तास मिळवू नका; दर तासाचा विचार करा. एका तासात A टाकीचा 1/6 भाग भरते आणि B 1/4 भाग. दोघी मिळून दर तासाला 1/6 + 1/4 = 5/12 टाकी भरतात, म्हणून पूर्ण टाकीला 12/5 = 2.4 तास लागतात.

मग सचिवांना टाकीच्या तळाशी एक गळती सापडते, जी भरलेली टाकी 12 तासांत रिकामी करेल. गळती म्हणजे फक्त उलटे काम करणारा एक कामगार: दर तासाला −1/12. आता निव्वळ भरणे 5/12 − 1/12 = 4/12 = 1/3 दर तासाला, म्हणून टाकी भरायला 3 तास लागतात. काळ-कामाचा प्रत्येक प्रश्न असाच सुटतो: पुरुष, स्त्रिया, नळ किंवा यंत्रे, सगळे फक्त कामाचे दर आहेत, जे मिळवायचे किंवा वजा करायचे.

रोजच्या जीवनात	परीक्षेच्या विषयात
एक पूर्ण टाकी	एकूण काम = 1 एकक (किंवा दिलेल्या वेळांचा लसावि घ्या)
मोटर A टाकी 6 तासांत भरते	A चा दर = दर तासाला कामाचा 1/6 भाग
दोन्ही मोटरी एकत्र चालू	दर मिळवायचे: 1/6 + 1/4 = 5/12 दर तासाला
टाकीच्या तळाशी गळती	ऋण दर: दर तासाला −1/12
टाकी भरायला लागणारे तास	वेळ = काम ÷ एकत्रित दर

संकल्पना

एखादी व्यक्ती एक काम n दिवसांत पूर्ण करत असेल, तर तिचा कामाचा दर (Rate) दररोज कामाचा 1/n भाग असतो. एकत्र काम करणाऱ्यांचे दर मिळवायचे; वेळा कधीही मिळवायच्या नाहीत. एकत्रित दर मिळाला की वेळ = 1 ÷ दर.

एक सोयीची युक्ती म्हणजे एकूण काम दिलेल्या वेळांच्या लसावि (LCM) एवढे घ्यायचे, म्हणजे प्रत्येकाचा दर दररोज पूर्ण संख्येत एकक येतो. 12 आणि 15 दिवसांसाठी 60 एकक घ्या: दर दररोज 5 आणि 4 एकक.

नळ आणि टाकी (Pipes and cisterns) यांचे प्रश्नही याच कल्पनेवर आधारित आहेत: भरणारा नळ म्हणजे धन कामगार, रिकामा करणारा नळ किंवा गळती म्हणजे ऋण कामगार. मनुष्य-दिवसांच्या (Man-days) प्रश्नांत एकूण काम हे माणसे × दिवस × तास यांच्या प्रमाणात असते.

महत्त्वाचे मुद्दे व सूत्रे

A काम a दिवसांत पूर्ण करतो ⇒ A चे एका दिवसाचे काम = 1/a
दोघे एकत्र: वेळ T = ab/(a + b); तिघे एकत्र: 1/T = 1/a + 1/b + 1/c
M₁D₁H₁/W₁ = M₂D₂H₂/W₂ (कामाच्या प्रत्येक एककामागे माणसे × दिवस × तास)
नळ: भरणारा नळ +, रिकामा करणारा नळ किंवा गळती −; निव्वळ दर × वेळ = 1 टाकी
A हा B पेक्षा k पट कार्यक्षम (Efficient) असेल, तर A ला B च्या वेळेच्या 1/k वेळ लागतो
मजुरी केलेल्या कामाच्या गुणोत्तरात वाटली जाते
लसावि पद्धत: एकूण काम = दिलेल्या दिवसांचा लसावि; प्रत्येकाचा दर = एकूण काम ÷ स्वतःचे दिवस

सोडवलेले उदाहरण

A एक काम 12 दिवसांत आणि B 15 दिवसांत करू शकतो. ते 4 दिवस एकत्र काम करतात, मग A काम सोडून जातो. B उरलेले काम आणखी किती दिवसांत पूर्ण करेल?

उकल पाहा

एकूण काम = LCM(12, 15) = 60 एकक घ्या. A दररोज 5 एकक, B दररोज 4 एकक काम करतो.
4 दिवस एकत्र: 4 × (5 + 4) = 36 एकक. उरलेले = 60 − 36 = 24 एकक.
B एकटा: 24 ÷ 4 = 6 दिवस.

उत्तर: आणखी 6 दिवस (एकूण 10 दिवस)

परीक्षेसाठी झटपट युक्ती

दोन कामगारांसाठी T = ab/(a + b), म्हणजे “गुणाकार भागिले बेरीज”. 10 आणि 15 दिवस एकत्र: 150/25 = 6 दिवस. भरणारा नळ a आणि रिकामा करणारा नळ b असेल तर: T = ab/(b − a).

नेहमीच्या चुका

वेळा मिळवणे: 6 h + 4 h = 10 h हे चूक आहे. दर मिळवा, वेळा कधीच नाही.
गळती किंवा बाहेर सोडणारा नळ तुमच्या विरुद्ध काम करतो हे विसरणे (त्याचा दर वजा करा).
कोणी मधूनच काम सोडून गेले, तर आधी तो जाण्यापूर्वी किती काम झाले ते मोजा.

सराव · प्रश्न परीक्षेप्रमाणे इंग्रजीत, खाली मराठी अर्थ · उत्तर तपासण्यासाठी पर्याय निवडा

Q1. A can do a work in 10 days and B in 15 days. Working together, they finish it in:

A एक काम 10 दिवसांत आणि B 15 दिवसांत करू शकतो. दोघे एकत्र ते काम किती दिवसांत पूर्ण करतील?

Q2. Pipe A fills a tank in 20 minutes and pipe B empties it in 30 minutes. With both open, an empty tank fills in:

नळ A टाकी 20 मिनिटांत भरतो आणि नळ B ती 30 मिनिटांत रिकामी करतो. दोन्ही उघडे ठेवले तर रिकामी टाकी किती वेळात भरेल?

Q3. 12 men can build a wall in 20 days. How many men are needed to build the same wall in 15 days?

12 माणसे एक भिंत 20 दिवसांत बांधतात. तीच भिंत 15 दिवसांत बांधण्यासाठी किती माणसे लागतील?

Q4. A is twice as efficient as B. Together they finish a job in 14 days. A alone would take:

A हा B पेक्षा दुप्पट कार्यक्षम आहे. दोघे मिळून एक काम 14 दिवसांत पूर्ण करतात. A एकट्याला किती दिवस लागतील?

↑ विषयसूचीकडे परत

गणित · अंकगणित · विषय 21 / 24

वेळ, वेग आणि अंतर

Time, Speed and Distance

पूर्ण झाले म्हणून खूण करा

असं समजा…

दादर स्टेशनवर मुंबई लोकल पाहताना

दादरच्या फलाटावर उभे राहून पाहा. लोकल सिग्नलचा खांब ओलांडते: शेवटचा डबा खांबापुढे जाईपर्यंत गाडीने खांब “ओलांडला” असे म्हणता येत नाही, म्हणून तिला स्वतःची पूर्ण लांबी पार करावी लागते. संपूर्ण फलाट ओलांडायचा असेल, तर इंजिनाला फलाटाच्या एका टोकापासून दुसऱ्या टोकापलीकडे, शेवटचा डबा बाहेर पडेपर्यंत जावे लागते: गाडीची लांबी + फलाटाची लांबी.

आता शेजारच्या रुळावरून फास्ट लोकल त्याच दिशेने जाणाऱ्या स्लो लोकलला मागे टाकते. स्लो गाडीच्या खिडकीतून पाहिले तर फास्ट गाडी हळूहळू पुढे सरकताना दिसते, कारण तुम्हाला फक्त दोघींच्या वेगांतला फरक जाणवतो. पण समोरच्या दिशेने येणारी गाडी काही सेकंदांत सुसाट निघून जाते, कारण वेगांची बेरीज होते. आणि लांबी मीटरमध्ये तर वेगाचे फलक km/h मध्ये, म्हणून 5/18 ने रूपांतर करत राहावे लागते.

रोजच्या जीवनात	परीक्षेच्या विषयात
सिग्नलचा खांब ओलांडणारी गाडी	अंतर = गाडीची लांबी
संपूर्ण फलाट ओलांडणारी गाडी	अंतर = गाडीची लांबी + फलाटाची लांबी
फास्ट लोकल स्लो लोकलला मागे टाकते (एकाच दिशेने)	सापेक्ष वेग (Relative speed) = वेगांचा फरक
विरुद्ध दिशांनी एकमेकींना ओलांडणाऱ्या दोन लोकल	सापेक्ष वेग = वेगांची बेरीज
वेगाचा फलक km/h मध्ये, लांबी मीटरमध्ये	km/h ला 5/18 ने गुणून m/s मिळवा

संकल्पना

सगळे काही अंतर = वेग × वेळ यावर उभे आहे. एकके सुसंगत ठेवा: km/h चे m/s करण्यासाठी 5/18 ने गुणा, आणि m/s चे km/h करण्यासाठी 18/5 ने गुणा.

सरासरी वेग (Average speed) = एकूण अंतर ÷ एकूण वेळ. ती वेगांची सरासरी नसते. u आणि v वेगांनी समान अंतरे कापली, तर सरासरी वेग 2uv/(u + v) असतो, म्हणजे हरात्मक मध्य (Harmonic mean).

दोन हलणाऱ्या वस्तूंसाठी सापेक्ष वेग वापरा: त्या एकाच दिशेने जात असतील तर वेग वजा करा, एकमेकींकडे येत असतील तर मिळवा. होड्यांचेही असेच: प्रवाहाच्या दिशेने (Downstream) जाताना प्रवाह मदत करतो आणि प्रवाहाविरुद्ध (Upstream) जाताना अडथळा करतो.

महत्त्वाचे मुद्दे व सूत्रे

अंतर = वेग × वेळ; 1 km/h = 5/18 m/s; 1 m/s = 18/5 km/h
सरासरी वेग = एकूण अंतर ÷ एकूण वेळ; समान अंतरे u आणि v वेगाने: 2uv/(u + v)
खांब किंवा व्यक्ती ओलांडणारी गाडी: वेळ = गाडीची लांबी ÷ वेग
फलाट, पूल किंवा दुसरी गाडी ओलांडणारी गाडी: अंतर = लांबींची बेरीज
सापेक्ष वेग: एकाच दिशेने u − v; विरुद्ध दिशांनी u + v
होडीचा वेग b, प्रवाहाचा वेग s: प्रवाहाच्या दिशेने b + s, प्रवाहाविरुद्ध b − s; b = (down + up)/2, s = (down − up)/2
ठराविक अंतरासाठी वेळ ही वेगाशी व्यस्त प्रमाणात असते

सोडवलेले उदाहरण

54 km/h वेगाने धावणारी 240 m लांबीची गाडी 360 m लांबीचा फलाट ओलांडते. तिला किती वेळ लागतो?

उकल पाहा

वेग = 54 × 5/18 = 15 m/s.
अंतर = गाडी + फलाट = 240 + 360 = 600 m.
वेळ = 600 ÷ 15.

उत्तर: 40 सेकंद

परीक्षेसाठी झटपट युक्ती

उशीर/लवकर प्रकारचे प्रश्न: u वेगाने उशीर होतो आणि v वेगाने लवकर पोहोचता, तर अंतर = (u × v × एकूण वेळेतील फरक)/(v − u). 4 km/h (10 मिनिटे उशीर) आणि 5 km/h (5 मिनिटे लवकर) साठी: (4 × 5 × ¼)/1 = 5 km.

नेहमीच्या चुका

लांबी मीटरमध्ये असताना km/h चे m/s मध्ये रूपांतर करायला विसरणे.
गाडी फलाट ओलांडताना फक्त फलाटाची लांबी (किंवा फक्त गाडीची लांबी) घेणे.
समान अंतरांसाठी सरासरी वेग (30 + 20)/2 = 25 घेणे; बरोबर उत्तर 2 × 30 × 20/50 = 24 आहे.

सराव · प्रश्न परीक्षेप्रमाणे इंग्रजीत, खाली मराठी अर्थ · उत्तर तपासण्यासाठी पर्याय निवडा

Q1. Two trains 150 m and 100 m long run in opposite directions at 40 km/h and 50 km/h. How long do they take to cross each other completely?

150 m आणि 100 m लांबीच्या दोन गाड्या 40 km/h आणि 50 km/h वेगाने विरुद्ध दिशांनी धावत आहेत. एकमेकींना पूर्णपणे ओलांडायला त्यांना किती वेळ लागेल?

Q2. A student goes to college at 30 km/h and returns by the same road at 20 km/h. The average speed for the whole journey is:

एक विद्यार्थी 30 km/h वेगाने कॉलेजला जातो आणि त्याच रस्त्याने 20 km/h वेगाने परत येतो. संपूर्ण प्रवासाचा सरासरी वेग आहे:

Q3. A boat goes downstream at 16 km/h and upstream at 10 km/h. The speed of the stream is:

एक होडी प्रवाहाच्या दिशेने 16 km/h आणि प्रवाहाविरुद्ध 10 km/h वेगाने जाते. प्रवाहाचा वेग आहे:

Q4. Walking at 4 km/h a student reaches the station 10 minutes late; walking at 5 km/h he is 5 minutes early. The distance to the station is:

4 km/h वेगाने चालत गेल्यास विद्यार्थी स्टेशनवर 10 मिनिटे उशिरा पोहोचतो; 5 km/h वेगाने चालल्यास 5 मिनिटे लवकर. स्टेशनपर्यंतचे अंतर आहे:

↑ विषयसूचीकडे परत

गणित · संच सिद्धांत व फलन · विषय 22 / 24

संच, संबंध आणि फलने

Sets, Relations and Functions

पूर्ण झाले म्हणून खूण करा

असं समजा…

ग्रामपंचायतीतील आधार नोंदणी शिबिर

ग्रामपंचायतीत आधार नोंदणीचे शिबिर भरले आहे. एका बाजूला गावकऱ्यांचा संच; दुसऱ्या बाजूला 12 अंकी क्रमांकांचा साठा. नियम असा की प्रत्येक गावकऱ्याला बरोबर एकच क्रमांक मिळेल: कोणीही सुटणार नाही आणि कोणालाही दोन क्रमांक मिळणार नाहीत. पहिल्या संचातील प्रत्येक घटकाला दुसऱ्या संचातील बरोबर एका घटकाशी जोडणाऱ्या अशा नियमाला फलन (Function) म्हणतात.

दोन गावकऱ्यांचा क्रमांक कधीच सारखा नसतो, म्हणून हे फलन एकास-एक (One-one, Injective) आहे. साठ्यात कोट्यवधी न वापरलेले क्रमांक आहेत, म्हणून हे फलन आच्छादक (Onto) नाही; पण गावात प्रत्यक्ष दिलेल्या क्रमांकांचाच विचार केला, तर त्यातला प्रत्येक क्रमांक कोणा ना कोणाचा आहे, आणि मग फलन आच्छादकसुद्धा होते, म्हणजे एकास-एक संगती (Bijection). म्हणूनच ते उलटे फिरवता येते: क्रमांकावरून व्यक्ती शोधता येते. याची तुलना “त्याच गावात राहतो” या संबंधाशी करा: तो स्वतःलाही लागू पडतो (स्वावर्ती), दोन्ही बाजूंनी लागू पडतो (सममित) आणि पुढे संक्रमित होतो (संक्रामी), म्हणून तो समतुल्यता संबंध (Equivalence relation) आहे.

रोजच्या जीवनात	परीक्षेच्या विषयात
गावकरी, आणि आधार क्रमांकांचा साठा	प्रांत (Domain) A आणि सहप्रांत (Codomain) B
प्रत्येक गावकऱ्याला बरोबर एकच क्रमांक	फलन f : A → B
कोणत्याही दोन गावकऱ्यांचा क्रमांक सारखा नाही	एकास-एक (Injective)
दिलेला प्रत्येक क्रमांक कोणत्या ना कोणत्या गावकऱ्याचा	आच्छादक (Surjective); एकास-एक + आच्छादक = एकास-एक संगती, म्हणून f⁻¹ अस्तित्वात
“त्याच गावात राहतो”	समतुल्यता संबंध: स्वावर्ती, सममित, संक्रामी

संकल्पना

संच (Set) म्हणजे सुनिश्चित (Well-defined) वस्तूंचा समूह. संयोग (Union), छेद (Intersection), फरक (Difference) आणि पूरक (Complement) या क्रियांनी संच एकत्र करतात; वेन आकृत्या (Venn diagrams) त्या दाखवतात. n(A ∪ B) = n(A) + n(B) − n(A ∩ B) हे मोजणीचे सूत्र सामाईक भाग दोनदा मोजला जाण्याची चूक दूर करते.

A पासून B कडे जाणारा संबंध (Relation) म्हणजे A × B चा कोणताही उपसंच. A वरील संबंध समतुल्यता संबंध असतो जेव्हा तो स्वावर्ती (Reflexive: सर्व a साठी a R a), सममित (Symmetric: a R b ⇒ b R a) आणि संक्रामी (Transitive: a R b आणि b R c ⇒ a R c) असतो.

फलन हा असा संबंध आहे ज्यात प्रांतातील प्रत्येक घटकाला बरोबर एकच प्रतिमा (Image) असते. वेगवेगळ्या घटकांच्या प्रतिमा वेगवेगळ्या असतील तर ते एकास-एक, सहप्रांतातील प्रत्येक घटक वापरला जात असेल तर आच्छादक, आणि दोन्ही असेल तरच ते व्यस्तनीय (Invertible) असते. संयुक्त फलन (Composition) f ∘ g म्हणजे “आधी g, मग f”.

महत्त्वाचे मुद्दे व सूत्रे

n(A ∪ B) = n(A) + n(B) − n(A ∩ B); n(A ∪ B ∪ C) = Σn(A) − Σn(A ∩ B) + n(A ∩ B ∩ C)
डी मॉर्गनचे नियम (De Morgan): (A ∪ B)′ = A′ ∩ B′; (A ∩ B)′ = A′ ∪ B′
n घटक असलेल्या संचाचे 2ⁿ उपसंच (Subsets) असतात (2ⁿ − 1 उचित उपसंच (Proper subsets))
n(A × B) = mn; A पासून B कडे जाणाऱ्या संबंधांची संख्या = 2^mn; n घटकांच्या संचावरील संबंध = 2^n²
समतुल्यता संबंध = स्वावर्ती + सममित + संक्रामी
A (m घटक) पासून B (n घटक) कडे फलने: एकूण nᵐ; एकास-एक: ⁿPₘ (m ≤ n); m = n असताना एकास-एक संगती: n!
(f ∘ g)(x) = f(g(x)); सामान्यतः f ∘ g ≠ g ∘ f; f एकास-एक संगती असेल तरच f⁻¹ अस्तित्वात असते

सोडवलेले उदाहरण

60 विद्यार्थ्यांच्या वर्गात 35 जणांना क्रिकेट, 25 जणांना कबड्डी आणि 10 जणांना दोन्ही खेळ आवडतात. किती जणांना एकही खेळ आवडत नाही?

उकल पाहा

n(C ∪ K) = n(C) + n(K) − n(C ∩ K) = 35 + 25 − 10 = 50.
एकही नाही = एकूण − n(C ∪ K) = 60 − 50.

उत्तर: 10 विद्यार्थी

परीक्षेसाठी झटपट युक्ती

“किती फलने किंवा संबंध” अशा प्रश्नांत घटकानुसार पर्याय मोजा. A मधील m पैकी प्रत्येक घटक n पर्यायांतून आपली प्रतिमा निवडतो, म्हणून nᵐ फलने. mn क्रमित जोड्यांपैकी (Ordered pairs) प्रत्येक जोडी संबंधात असते किंवा नसते, म्हणून 2^mn संबंध.

नेहमीच्या चुका

n(A ∪ B) = n(A) + n(B) हे फक्त A आणि B विभक्त (Disjoint) संच असतील तेव्हाच.
f ∘ g म्हणजे आधी g, मग f. (f ∘ g)(x) आणि (g ∘ f)(x) सहसा वेगवेगळे असतात.
एखादा संबंध स्वावर्ती नसूनही सममित आणि संक्रामी असू शकतो. प्रत्येक घटकासाठी (a, a) आहे का ते तपासा.

सराव · प्रश्न परीक्षेप्रमाणे इंग्रजीत, खाली मराठी अर्थ · उत्तर तपासण्यासाठी पर्याय निवडा

Q1. The number of relations on the set A = {1, 2, 3} is:

A = {1, 2, 3} या संचावरील संबंधांची संख्या आहे:

Q2. If f(x) = 2x + 3 and g(x) = x², then (f ∘ g)(2) is:

जर f(x) = 2x + 3 आणि g(x) = x² असेल, तर (f ∘ g)(2) आहे:

Q3. The number of one-one functions from {a, b, c} to {1, 2, 3, 4} is:

{a, b, c} पासून {1, 2, 3, 4} कडे जाणाऱ्या एकास-एक फलनांची संख्या आहे:

Q4. On A = {1, 2, 3}, the relation R = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (1, 2), (2, 1)} is:

A = {1, 2, 3} वरील R = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (1, 2), (2, 1)} हा संबंध आहे:

↑ विषयसूचीकडे परत

गणित · महत्त्वमापन · विषय 23 / 24

क्षेत्रमिती 2D: त्रिकोण, चौकोन, वर्तुळ

Mensuration 2D: Triangles, Quadrilaterals, Circles

पूर्ण झाले म्हणून खूण करा

असं समजा…

नव्या फ्लॅटच्या जमिनीवर फरश्या बसवणे

तुमच्या कुटुंबाने पुण्यात नवा फ्लॅट घेतला आहे आणि फरशीचे मिस्त्री मोजमाप घ्यायला आले आहेत. जमीन झाकायला 1 ft × 1 ft च्या किती फरश्या लागतील, ते म्हणजे क्षेत्रफळ (Area). प्रत्येक भिंतीच्या तळाशी कडेने लावायची स्कर्टिंगची पट्टी म्हणजे परिमिती (Perimeter). दोघांची एकके वेगळी: क्षेत्रफळ चौरस फुटांत, परिमिती फुटांत.

आता मिस्त्री म्हणतात, “हॉलची लांबी आणि रुंदी बेडरूमच्या दुप्पट आहे.” स्कर्टिंग दुप्पट होते, पण फरश्या चौपट लागतात, कारण क्षेत्रफळ मापाच्या पटीच्या वर्गाने वाढते. गोल डायनिंग टेबलसाठी, कडेने लावायची शोभेची पट्टी म्हणजे परीघ (Circumference) 2πr, तर टेबलक्लॉथने झाकायचे ते क्षेत्रफळ πr². आणि मिस्त्री कोपऱ्यासाठी जो त्रिकोणी तुकडा कापतात, त्याचे क्षेत्रफळ त्याच्याभोवतीच्या आयताच्या निम्मे असते: ½ × पाया × उंची.

रोजच्या जीवनात	परीक्षेच्या विषयात
जमीन झाकायला लागणाऱ्या 1 ft × 1 ft च्या फरश्या	क्षेत्रफळ (चौरस एकक)
भिंतींच्या कडेने स्कर्टिंगची पट्टी	परिमिती (एकक)
लांबी आणि रुंदी दोन्ही दुप्पट असलेला हॉल	परिमिती × 2, पण क्षेत्रफळ × 4 (क्षेत्रफळ k² पटीत वाढते)
गोल टेबलसाठी कडेची पट्टी विरुद्ध टेबलक्लॉथ	परीघ 2πr विरुद्ध क्षेत्रफळ πr²
आयतातून कापलेली त्रिकोणी कोपऱ्याची फरशी	त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ = ½ × पाया × उंची

संकल्पना

परिमिती म्हणजे सीमारेषेची लांबी; क्षेत्रफळ म्हणजे आत बंदिस्त असलेल्या पृष्ठभागाचे माप. एकके नेहमी तपासा: 1 m = 100 cm, पण 1 m² = 10,000 cm².

त्रिकोणासाठी: उंची माहीत असेल तर ½ × पाया × उंची, तिन्ही बाजू माहीत असतील तर हेरॉनचे सूत्र (Heron’s formula), आणि समभुज त्रिकोणासाठी (Equilateral triangle) (√3/4)a². चौकोनांचे आयत आणि त्रिकोण असे भाग करता येतात; समभुज चौकोनाचे (Rhombus) कर्ण (Diagonals) एकमेकांना काटकोनात दुभागतात.

वर्तुळासाठी त्रिज्याच सर्व काही ठरवते: क्षेत्रफळ πr², परीघ 2πr, आणि θ कोनाचे त्रिज्याखंड (Sector) हे पूर्ण वर्तुळाचा θ/360 भाग असते. प्रत्येक लांबी k ने गुणली, तर परिमिती k पट आणि क्षेत्रफळ k² पट होते.

महत्त्वाचे मुद्दे व सूत्रे

त्रिकोण: ½ × पाया × उंची = ½ ab sin C; हेरॉन: √[s(s − a)(s − b)(s − c)], s = (a + b + c)/2
a बाजूचा समभुज त्रिकोण: क्षेत्रफळ (√3/4)a², उंची (√3/2)a
आयत: क्षेत्रफळ lb, परिमिती 2(l + b), कर्ण √(l² + b²); चौरस: क्षेत्रफळ a² = d²/2, कर्ण a√2
समांतरभुज चौकोन (Parallelogram): पाया × उंची; समभुज चौकोन: ½ d₁d₂, बाजू = ½√(d₁² + d₂²); समलंब चौकोन (Trapezium): ½ (समांतर बाजूंची बेरीज) × उंची
वर्तुळ: क्षेत्रफळ πr², परीघ 2πr; अर्धवर्तुळाची परिमिती πr + 2r; कडे/वलय (Ring): π(R² − r²)
θ° कोनाचे त्रिज्याखंड: क्षेत्रफळ (θ/360)πr², कंसाची लांबी (Arc length) (θ/360) × 2πr
चाक: एका फेऱ्यात कापलेले अंतर = परीघ; फेरे = अंतर ÷ 2πr
प्रत्येक लांबी × k ⇒ परिमिती × k, क्षेत्रफळ × k² (r मध्ये 10% वाढ ⇒ क्षेत्रफळात 21% वाढ)

सोडवलेले उदाहरण

एका सायकलच्या चाकाची त्रिज्या 35 cm आहे. 1.1 km अंतर कापण्यासाठी ते किती फेरे घेईल? (π = 22/7)

उकल पाहा

परीघ = 2πr = 2 × (22/7) × 35 = 220 cm.
1.1 km = 1,10,000 cm.
फेरे = 1,10,000 ÷ 220.

उत्तर: 500 फेरे

परीक्षेसाठी झटपट युक्ती

प्रत्येक लांबी x% ने बदलल्यास क्षेत्रफळातील शेकडा बदल काढण्यासाठी क्रमागत बदलाचे सूत्र x + x + x²/100 वापरा. त्रिज्या +20% ⇒ क्षेत्रफळ +(20 + 20 + 4) = 44%. त्रिज्या −10% ⇒ क्षेत्रफळ −19%.

नेहमीच्या चुका

एकके मिसळणे: गुणाकार करण्यापूर्वी सर्व मापे एकाच एककात आणा, विशेषतः cm² आणि m².
सूत्रात त्रिज्या हवी असताना व्यास (Diameter) वापरणे.
समभुज चौकोनाचे क्षेत्रफळ कर्णांवरून (½ d₁d₂) काढतात; त्याची बाजू अर्ध-कर्णांवरून पायथागोरसने काढतात, थेट d₁ किंवा d₂ वरून नाही.

सराव · प्रश्न परीक्षेप्रमाणे इंग्रजीत, खाली मराठी अर्थ · उत्तर तपासण्यासाठी पर्याय निवडा

Q1. The diagonals of a rhombus are 16 cm and 12 cm. Its perimeter is:

एका समभुज चौकोनाचे कर्ण 16 cm आणि 12 cm आहेत. त्याची परिमिती आहे:

Q2. If the radius of a circle is increased by 20%, its area increases by:

वर्तुळाची त्रिज्या 20% ने वाढवली, तर त्याचे क्षेत्रफळ किती वाढते:

Q3. The area of an equilateral triangle of side 8 cm is:

8 cm बाजूच्या समभुज त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ आहे:

Q4. The area of a sector of a circle of radius 14 cm with central angle 90° is (π = 22/7):

14 cm त्रिज्येच्या वर्तुळाच्या, 90° केंद्रीय कोन असलेल्या त्रिज्याखंडाचे क्षेत्रफळ आहे (π = 22/7):

↑ विषयसूचीकडे परत

गणित · महत्त्वमापन · विषय 24 / 24

क्षेत्रमिती 3D: घन, इष्टिकाचिती, गोल, वृत्तचिती, शंकू

Mensuration 3D: Cube, Cuboid, Sphere, Cylinder, Cone

पूर्ण झाले म्हणून खूण करा

असं समजा…

रविवारी संध्याकाळी आइस्क्रीम पार्लरमध्ये

आइस्क्रीम पार्लरमध्ये तुम्हाला तीन आकार दिसतात: वृत्तचितीच्या (Cylinder) आकाराचा टब, शंकूच्या (Cone) आकाराचे कप आणि गोल स्कूप. एखाद्या भांड्यात किती आइस्क्रीम मावते, ते त्याचे घनफळ (Volume). शंकू-कपभोवती गुंडाळलेले कागदी वेष्टन म्हणजे त्याचे वक्रपृष्ठफळ (Curved surface area); कपमध्ये किती आइस्क्रीम मावते याच्याशी त्याचा काहीही संबंध नाही.

सारखीच पायाची त्रिज्या आणि सारखीच उंची असलेला एक शंकू-कप आणि एक टब घेऊन हे करून पाहा: टब भरायला बरोबर तीन शंकू-कप भरून आइस्क्रीम लागते. म्हणूनच V_cone = ⅓ πr²h, म्हणजे वृत्तचितीचा एक-तृतीयांश. शंकू-कपवरचा स्कूप हा अर्धगोल (Hemisphere) असतो, ⅔ πr³. आणि दुकानदाराने आइस्क्रीमचा मोठा ठोकळा वितळवून छोट्या शंकू-कपमध्ये पुन्हा भरला, तर आइस्क्रीम ना वाढते ना कमी होते: आधीचे एकूण घनफळ = नंतरचे एकूण घनफळ. “वितळवून पुन्हा ओतले” (Melted and recast) अशा प्रत्येक प्रश्नाची उकल याच एका कल्पनेत आहे.

रोजच्या जीवनात	परीक्षेच्या विषयात
भांड्यात किती आइस्क्रीम मावते	घनफळ (घन एकक)
शंकू-कपभोवती गुंडाळलेले कागदी वेष्टन	वक्रपृष्ठफळ πrl, तिरकस उंची (Slant height) l = √(r² + h²)
सारख्याच पाया व उंचीचा टब तीन शंकू-कप भरून भरतो	V_cone = ⅓ πr²h = ⅓ V_cylinder
शंकू-कपवर बसलेला गोल स्कूप	अर्धगोल: घनफळ ⅔ πr³
मोठा ठोकळा वितळवून छोटे शंकू-कप भरणे	पुनर्घडण (Recasting): एकूण घनफळ तेवढेच राहते

संकल्पना

घनफळ घनाकृतीच्या आतील जागा मोजते (घन एकक); पृष्ठफळ (Surface area) ती झाकायला लागणारे साहित्य मोजते (चौरस एकक). वक्रपृष्ठफळ (CSA) फक्त वक्र भाग झाकते; एकूण पृष्ठफळ (TSA) मध्ये सपाट टोकेही मिळवतात.

वृत्तचिती, शंकू आणि गोल (Sphere) एकमेकांशी जोडलेले आहेत: शंकू हा सारख्याच पाया व उंचीच्या वृत्तचितीचा एक-तृतीयांश असतो, आणि r त्रिज्येच्या गोलाचे घनफळ त्याला नेमके सामावून घेणाऱ्या वृत्तचितीच्या (त्रिज्या r, उंची 2r) दोन-तृतीयांश असते. शंकूसाठी लंब उंची h आणि तिरकस उंची l वेगवेगळ्या ठेवा: घनफळासाठी h, पृष्ठफळासाठी l.

वितळवून पुन्हा ओतण्याच्या प्रश्नांत घनफळे समान करा. प्रत्येक लांबी k ने गुणली, तर पृष्ठफळे k² पट आणि घनफळे k³ पट होतात.

महत्त्वाचे मुद्दे व सूत्रे

इष्टिकाचिती (Cuboid): V = lbh; TSA = 2(lb + bh + hl); कर्ण √(l² + b² + h²)
घन (Cube): V = a³; TSA = 6a²; कर्ण a√3
वृत्तचिती: V = πr²h; CSA = 2πrh; TSA = 2πr(r + h)
शंकू: V = ⅓πr²h; CSA = πrl; TSA = πr(l + r); l = √(r² + h²)
गोल: V = (4/3)πr³; पृष्ठफळ 4πr²
अर्धगोल: V = (2/3)πr³; CSA = 2πr²; TSA = 3πr²
पुनर्घडण: आधीचे घनफळ = नंतरचे घनफळ; लहान तुकड्यांची संख्या = मोठे घनफळ ÷ एका लहान तुकड्याचे घनफळ
लांबी × k ⇒ पृष्ठफळ × k², घनफळ × k³

सोडवलेले उदाहरण

6 cm त्रिज्येचा धातूचा गोल वितळवून त्यापासून 4 cm त्रिज्येची वृत्तचिती ओतली. वृत्तचितीची उंची काढा.

उकल पाहा

गोलाचे घनफळ = (4/3)π(6)³ = (4/3)π × 216 = 288π cm³.
वृत्तचितीचे घनफळ = π(4)²h = 16πh.
समान करा: 16πh = 288π, म्हणून h = 288/16.

उत्तर: 18 cm

परीक्षेसाठी झटपट युक्ती

पुनर्घडणीच्या प्रश्नांत π दोन्ही बाजूंनी रद्द होतो, म्हणून 22/7 ने गुणाकार करत कधीच बसू नका. दोन्ही घनफळे π सह लिहा, π रद्द करा, आणि साध्या संख्यांवर काम करा.

नेहमीच्या चुका

शंकूच्या CSA सूत्रात लंब उंची h वापरणे. CSA साठी तिरकस उंची l लागते.
वस्तू उघडी असताना TSA वापरणे (उघड्या टाकीला किंवा अर्धगोल वाटीला झाकण नसते: वाटीसाठी 2πr², 3πr² नाही).
त्रिज्या दुप्पट केली तर घनफळ दुप्पट होते? नाही: घनफळ 2³ = 8 पट होते.

सराव · प्रश्न परीक्षेप्रमाणे इंग्रजीत, खाली मराठी अर्थ · उत्तर तपासण्यासाठी पर्याय निवडा

Q1. How many cubes of edge 2 cm can be cut from a cuboid measuring 6 cm × 8 cm × 10 cm?

6 cm × 8 cm × 10 cm मापाच्या इष्टिकाचितीतून 2 cm कडेचे किती घन कापता येतील?

Q2. The curved surface area of a cone with radius 7 cm and height 24 cm is (π = 22/7):

7 cm त्रिज्या आणि 24 cm उंची असलेल्या शंकूचे वक्रपृष्ठफळ आहे (π = 22/7):

Q3. If the radius of a sphere is doubled, its volume becomes:

गोलाची त्रिज्या दुप्पट केली, तर त्याचे घनफळ होते:

Q4. The total surface area of a cube is 150 cm². Its volume is:

एका घनाचे एकूण पृष्ठफळ 150 cm² आहे. त्याचे घनफळ आहे:

↑ विषयसूचीकडे परत