शेवटच्या आठवड्याची उजळणी

उजळणी पत्रक

प्रत्येक विषयाची एका ओळीतील उपमा आणि महत्त्वाची सूत्रे. परीक्षेच्या आदल्या रात्री वाचा; एखादी ओळ वाचून पूर्ण संकल्पना आठवत नसेल, तर तो विषय पुन्हा उघडा.

झटपट गणित: हे पाठ असलेच पाहिजे

खालील प्रत्येक किंमत तोंडपाठ असावी; परीक्षा हॉलमध्ये ती मोजत बसायची नाही. या संख्या टाइप केलेल्या नाहीत, build ने तयार केलेल्या आहेत, त्यामुळे अचूक आहेत.

वर्ग

n	n²	n	n²	n	n²
1²	1	2²	4	3²	9
4²	16	5²	25	6²	36
7²	49	8²	64	9²	81
10²	100	11²	121	12²	144
13²	169	14²	196	15²	225
16²	256	17²	289	18²	324
19²	361	20²	400	21²	441
22²	484	23²	529	24²	576
25²	625	26²	676	27²	729
28²	784	29²	841	30²	900

घन

n	n³	n	n³	n	n³
1³	1	2³	8	3³	27
4³	64	5³	125	6³	216
7³	343	8³	512	9³	729
10³	1000	11³	1331	12³	1728
13³	2197	14³	2744	15³	3375

2 चे घात

2ⁿ		2ⁿ		2ⁿ
2⁰	1	2¹	2	2²	4
2³	8	2⁴	16	2⁵	32
2⁶	64	2⁷	128	2⁸	256
2⁹	512	2¹⁰	1024	2¹¹	2048
2¹²	4096	2¹³	8192	2¹⁴	16384
2¹⁵	32768	2¹⁶	65536

अपूर्णांक ↔ टक्केवारी

	%		%
1/2	50%	1/3	33.33%
1/4	25%	1/5	20%
1/6	16.67%	1/7	14.29%
1/8	12.5%	1/9	11.11%
1/10	10%	1/11	9.09%
1/12	8.33%	1/16	6.25%
1/20	5%	1/25	4%

विभाज्यतेचे नियम

भाजक	नियम
2	शेवटचा अंक सम
3	अंकांची बेरीज 3 ने भाग जाणारी
4	शेवटचे दोन अंक 4 ने भाग जाणारे
5	शेवटी 0 किंवा 5
6	2 आणि 3 दोन्हींनी भाग जाणारी
8	शेवटचे तीन अंक 8 ने भाग जाणारे
9	अंकांची बेरीज 9 ने भाग जाणारी
11	(विषम स्थानांच्या अंकांची बेरीज) − (सम स्थानांच्या अंकांची बेरीज) 0 किंवा 11 च्या पटीत

स्थिरांक व लॉग


√2	1.414
√3	1.732
√5	2.236
π	3.1416 ≈ 22/7
e	2.718
log₁₀ 2	0.3010
log₁₀ 3	0.4771
log₁₀ 7	0.8451
ln 10	2.3026

त्रिकोणमितीय किंमती

	0°	30°	45°	60°	90°
sin	0	1/2	1/√2	√3/2	1
cos	1	√3/2	1/√2	1/2	0
tan	0	1/√3	1	√3	—

गणित व सांख्यिकी

मूलभूत बीजगणित: विस्तार, अवयवीकरण, घातांक

शेताचा चौरस तुकडा मोठा करणे: (a + b)² म्हणजे मोठा झालेला चौरस तुकडा: जुनी जमीन, दोन नवे पट्टे आणि कोपऱ्यातला एक छोटा तुकडा.

(a ± b)² = a² ± 2ab + b²; a² − b² = (a − b)(a + b)
(a ± b)³ = a³ ± 3a²b + 3ab² ± b³ = a³ ± b³ ± 3ab(a ± b)
a³ + b³ = (a + b)(a² − ab + b²); a³ − b³ = (a − b)(a² + ab + b²)
(a + b + c)² = a² + b² + c² + 2(ab + bc + ca)
जर a + b + c = 0, तर a³ + b³ + c³ = 3abc
aᵐ × aⁿ = aᵐ⁺ⁿ; aᵐ ÷ aⁿ = aᵐ⁻ⁿ; (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ; (ab)ⁿ = aⁿbⁿ
a⁰ = 1 (a ≠ 0); a⁻ⁿ = 1/aⁿ; a^p/q = (a चे q-वे मूळ)^p
x + 1/x = k ⇒ x² + 1/x² = k² − 2 आणि x³ + 1/x³ = k³ − 3k

वर्गसमीकरणे

वर फेकलेला क्रिकेटचा चेंडू: चेंडू ज्या दोन क्षणी जमिनीच्या पातळीवर असतो, ती वर्गसमीकरणाची मुळे (Roots).

मुळे: x = (−b ± √D) / 2a, जेथे D = b² − 4ac
D > 0: दोन भिन्न वास्तव मुळे; D = 0: दोन समान वास्तव मुळे; D < 0: संयुग्मी संमिश्र (Complex conjugate) मुळे
D पूर्ण वर्ग असेल (आणि a, b, c परिमेय असतील): मुळे परिमेय (Rational) असतात
मुळांची बेरीज α + β = −b/a; गुणाकार αβ = c/a
मुळांवरून समीकरण: x² − (बेरीज)x + (गुणाकार) = 0
α² + β² = (α + β)² − 2αβ

लघुगणक

पैसे दुप्पट करणारी बचत योजना: पायाने किती वेळा गुणले हे लघुगणक मोजतो; जसे बचतीचे पैसे वाढायला दुप्पट होण्याचे किती टप्पे लागले ते मोजणे.

log_a x = y ⟺ aʸ = x (x > 0, a > 0, a ≠ 1)
log_a 1 = 0; log_a a = 1; a^{log_a x} = x
log(xy) = log x + log y; log(x/y) = log x − log y; log(xⁿ) = n log x
पाया बदल: log_a x = log_b x / log_b a; म्हणून log_a b × log_b a = 1
log_aᵐ xⁿ = (n/m) log_a x
log₁₀ 2 ≈ 0.3010, log₁₀ 3 ≈ 0.4771, log₁₀ 5 = 1 − log₁₀ 2 ≈ 0.6990
N (N ≥ 1) मधील अंकांची संख्या = (log₁₀ N चा पूर्णांक भाग) + 1

श्रेढी: अंकगणिती, भूमिती, हरात्मक (AP, GP, HP)

गोकुळाष्टमी: दहीहंडीचा मनोरा आणि व्हॉट्सॲपवरचं निमंत्रण: अंकगणिती श्रेढीत प्रत्येक पायरीला तीच संख्या मिळवली जाते (मनोऱ्याचे थर); भूमिती श्रेढीत प्रत्येक पायरीला त्याच संख्येने गुणले जाते (पुढे पाठवलेली निमंत्रणे).

AP: aₙ = a + (n − 1)d; Sₙ = (n/2)[2a + (n − 1)d] = (n/2)(a + l)
GP: aₙ = arⁿ⁻¹; Sₙ = a(rⁿ − 1)/(r − 1), r ≠ 1; |r| < 1 असेल तेव्हा अनंत बेरीज = a/(1 − r)
HP: व्यस्त संख्या AP मध्ये असतात; HP चे n वे पद = 1/(त्या AP चे n वे पद)
AM = (a + b)/2; GM = √(ab); HM = 2ab/(a + b)
धन संख्यांसाठी AM ≥ GM ≥ HM, आणि GM² = AM × HM
AP मधील तीन पदे: a − d, a, a + d; GP मधील तीन पदे: a/r, a, ar
aₙ = Sₙ − Sₙ₋₁ (बेरजेच्या सूत्रावरून कोणतेही पद काढा)

द्विपद प्रमेय

कॉलेजच्या कॅन्टीनमध्ये पाच मित्रांची ऑर्डर: प्रत्येक कंस म्हणजे पोहे की उपमा निवडणारा एक मित्र; सहगुणक (Coefficient) सांगतो की तीच ऑर्डर-चिठ्ठी किती प्रकारे बनू शकते.

(a + b)ⁿ = Σ ⁿCᵣ aⁿ⁻ʳ bʳ (r = 0 ते n); त्यात n + 1 पदे असतात
सामान्य पद: T_r+1 = ⁿCᵣ aⁿ⁻ʳ bʳ
n सम: एकच मध्य पद T_{n/2 + 1}; n विषम: दोन मध्य पदे T_(n+1)/2 आणि T_(n+3)/2
ⁿC₀ + ⁿC₁ + … + ⁿCₙ = 2ⁿ; विषम स्थानांवरील सहगुणकांची बेरीज = सम स्थानांवरील सहगुणकांची बेरीज = 2ⁿ⁻¹
ⁿCᵣ = ⁿCₙ₋ᵣ; ⁿCᵣ + ⁿCᵣ₋₁ = ⁿ⁺¹Cᵣ
(a − b)ⁿ मध्ये सामान्य पदात (−1)ʳ असतो: चिन्हे आलटून पालटून येतात
x-विरहित पद (Term independent of x): T_r+1 मधील x चा घात 0 ठेवा

क्रमचय आणि संचय

लग्नातल्या मिठाईचं नियोजन: मेनू कार्डसाठी मिठाया निवडणे हा संचय; वाढपी त्या कोणत्या क्रमाने आणतील हे ठरवणे हा क्रमचय.

ⁿPᵣ = n!/(n − r)!; ⁿCᵣ = n!/[r!(n − r)!]; ⁿPᵣ = r! × ⁿCᵣ
n वस्तूंपैकी p एकसारख्या, q एकसारख्या, … असतील तर मांडण्या: n!/(p! q! …)
n भिन्न वस्तूंच्या वर्तुळाकार मांडण्या (Circular arrangements): (n − 1)!; हार किंवा माळ (उलटी करता येते): (n − 1)!/2
ⁿCᵣ = ⁿCₙ₋ᵣ; जर ⁿCₓ = ⁿCᵧ तर x = y किंवा x + y = n
n भिन्न वस्तूंमधून किमान एक वस्तू निवडण्याचे प्रकार: 2ⁿ − 1
n बाजूंच्या बहुभुजाकृतीचे कर्ण: ⁿC₂ − n; n बिंदूंपासून त्रिकोण (कोणतेही तीन बिंदू एकरेषीय नसताना): ⁿC₃
“एकत्र”: तो गट एकाच गठ्ठ्यासारखा बांधा, मांडणी करा, आणि मग गठ्ठ्याच्या आतील मांडण्यांनी गुणा

सरळ रेषा

घाट चढणारी एसटी बस: रेषेचा चढ (Slope) म्हणजे घाटरस्त्याची चढण: प्रत्येक पुढच्या पावलामागे तुम्ही किती वर चढता.

अंतर: √[(x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²]
विभाजन सूत्र (आंतर विभाजन, गुणोत्तर m : n): ((mx₂ + nx₁)/(m + n), (my₂ + ny₁)/(m + n)); बाह्य विभाजन: गुणोत्तराच्या भागात + ऐवजी − ठेवा
त्रिकोणाचा मध्यगासंपात (Centroid): ((x₁ + x₂ + x₃)/3, (y₁ + y₂ + y₃)/3)
चढ m = tan θ = (y₂ − y₁)/(x₂ − x₁); ax + by + c = 0 साठी m = −a/b
रूपे: y = mx + c; y − y₁ = m(x − x₁); x/a + y/b = 1
समांतर: m₁ = m₂; लंब: m₁m₂ = −1; कोन: tan θ = |(m₁ − m₂)/(1 + m₁m₂)|
(x₁, y₁) पासून ax + by + c = 0 चे अंतर: |ax₁ + by₁ + c| / √(a² + b²); समांतर रेषा ax + by + c₁ = 0 आणि ax + by + c₂ = 0 यांमधील अंतर: |c₁ − c₂| / √(a² + b²)
त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ: ½ |x₁(y₂ − y₃) + x₂(y₃ − y₁) + x₃(y₁ − y₂)|; क्षेत्रफळ 0 म्हणजे बिंदू एकरेषीय (Collinear) आहेत

वर्तुळ

खुंट्याला बांधलेली शेळी: खुंटा म्हणजे केंद्र, दोरी म्हणजे त्रिज्या, आणि शेळीने चरलेल्या जागेची कड म्हणजे वर्तुळ.

केंद्र-त्रिज्या रूप: (x − h)² + (y − k)² = r²
सामान्य रूप x² + y² + 2gx + 2fy + c = 0: केंद्र (−g, −f), त्रिज्या √(g² + f² − c)
व्यास रूप (Diameter form), व्यासाची टोके (x₁, y₁), (x₂, y₂): (x − x₁)(x − x₂) + (y − y₁)(y − y₂) = 0
x² + y² = a² वरील (x₁, y₁) या बिंदूतील स्पर्शिका: xx₁ + yy₁ = a²
y = mx + c ही रेषा x² + y² = a² ला स्पर्श करते जर आणि फक्त जर c² = a²(1 + m²)
(x₁, y₁) पासून स्पर्शिकेची लांबी: √S₁, जेथे S₁ = x₁² + y₁² + 2gx₁ + 2fy₁ + c
दोन वर्तुळे C₁C₂ = r₁ + r₂ असेल तर बाह्यस्पर्शी, C₁C₂ = |r₁ − r₂| असेल तर अंतःस्पर्शी असतात

शांकवे: परवलय, विवृत्त, अपास्त

लाइट गेल्यावर भिंतीवर पडलेला बॅटरीचा उजेड: बॅटरी भिंतीकडे हळूहळू तिरकी करत गेलात, की उजेडाचा ठिपका वर्तुळ → विवृत्त → परवलय → अपास्त असा बदलत जातो.

परवलय y² = 4ax: शिरोबिंदू (0, 0), नाभी (a, 0), नियता x = −a, नाभिलंब 4a
परवलय x² = 4ay: नाभी (0, a), नियता y = −a
विवृत्त x²/a² + y²/b² = 1 (a > b): b² = a²(1 − e²), नाभी (±ae, 0), नियता x = ±a/e
विवृत्त: नाभिलंब 2b²/a; PF₁ + PF₂ = 2a (दीर्घ अक्ष, Major axis)
अपास्त x²/a² − y²/b² = 1: b² = a²(e² − 1), नाभी (±ae, 0), नाभिलंब 2b²/a, |PF₁ − PF₂| = 2a
काटकोनी अपास्त (Rectangular hyperbola) (a = b, उदा. x² − y² = a² किंवा xy = c²): e = √2
केंद्रापासून नाभीचे अंतर: विवृत्त ae = √(a² − b²); अपास्त ae = √(a² + b²)

रेषायुग्म आणि रूपांतरणे

स्टेन्सिलने काढलेली दिवाळीची रांगोळी: एकमेकांना छेदणाऱ्या दोन खडूच्या रेषा म्हणजे रेषायुग्माचे एक समीकरण; स्टेन्सिल सरकवणे, फिरवणे आणि मोठा करणे म्हणजे स्थानांतरण, परिवलन आणि प्रमाणबदल.

ax² + 2hxy + by² = 0: आरंभबिंदूतून जाणाऱ्या दोन रेषा; h² > ab असेल तर वास्तव व भिन्न, h² = ab असेल तर एकरूप (Coincident)
चढ m₁, m₂: m₁ + m₂ = −2h/b, m₁m₂ = a/b
त्यांच्यातील कोन: tan θ = 2√(h² − ab) / |a + b|; a + b = 0 असेल तर परस्परांना लंब
ax² + 2hxy + by² + 2gx + 2fy + c = 0 हे रेषायुग्म असते जर abc + 2fgh − af² − bg² − ch² = 0
आरंभबिंदू (h, k) वर हलवणे (अक्ष सरकवले, फिरवले नाहीत): नवे निर्देशक X = x − h, Y = y − k
बिंदूचे आरंभबिंदूभोवती घड्याळाच्या काट्यांच्या विरुद्ध दिशेने (Anticlockwise) θ ने परिवलन: (x cos θ − y sin θ, x sin θ + y cos θ); 90° साठी: (x, y) → (−y, x)
अक्षांचे θ ने परिवलन: X = x cos θ + y sin θ, Y = −x sin θ + y cos θ
sₓ आणि sᵧ ने प्रमाणबदल: (x, y) → (sₓx, sᵧy); क्षेत्रफळ sₓsᵧ ने गुणले जाते

विकल समीकरणे

टपरीवर थंड होणारा कटिंग चहा: चहा जितका गरम, तितका तो वेगाने थंड होतो; हा नियम गणितात लिहिला की विकल समीकरण, आणि थंड होण्याचा वक्र म्हणजे त्याची उकल.

कोटी = सर्वोच्च विकलज; घात = त्याचा घात (करणी/अपूर्णांक काढल्यानंतर); स्वैर स्थिरांकांची संख्या = कोटी
चल विभक्त करता येणारी: f(y) dy = g(x) dx, दोन्ही बाजूंचे संकलन करा
समघाती dy/dx = F(y/x): y = vx ठेवा, dy/dx = v + x dv/dx
रेषीय dy/dx + Py = Q: IF = e^{∫P dx}; उकल y × IF = ∫(Q × IF) dx + C
y″ + ay′ + by = 0: m² + am + b = 0 सोडवा
भिन्न वास्तव मुळे m₁, m₂: y = c₁e^m₁x + c₂e^m₂x; समान मुळे m: y = (c₁ + c₂x)e^mx; मुळे α ± iβ: y = e^αx(c₁ cos βx + c₂ sin βx)
वाढ किंवा ऱ्हास dy/dt = ky असेल तर y = y₀e^kt

त्रिकोणमितीय नित्यसमानता आणि समीकरणे

गावच्या जत्रेतला आकाशपाळणा: तुमच्या बैठकीची उंची म्हणजे sin θ आणि आडवे अंतर म्हणजे cos θ; मधल्या आसापासून तुम्ही नेहमी तेवढ्याच अंतरावर असता, म्हणून sin²θ + cos²θ = 1.

sin²θ + cos²θ = 1; 1 + tan²θ = sec²θ; 1 + cot²θ = cosec²θ
sin(A ± B) = sin A cos B ± cos A sin B; cos(A ± B) = cos A cos B ∓ sin A sin B; tan(A ± B) = (tan A ± tan B)/(1 ∓ tan A tan B)
sin 2A = 2 sin A cos A; cos 2A = cos²A − sin²A = 1 − 2 sin²A = 2 cos²A − 1; tan 2A = 2 tan A/(1 − tan²A)
sin 3A = 3 sin A − 4 sin³A; cos 3A = 4 cos³A − 3 cos A
sin C + sin D = 2 sin((C + D)/2) cos((C − D)/2); cos C + cos D = 2 cos((C + D)/2) cos((C − D)/2)
सर्वसाधारण उकली: sin θ = sin α ⇒ θ = nπ + (−1)ⁿα; cos θ = cos α ⇒ θ = 2nπ ± α; tan θ = tan α ⇒ θ = nπ + α
sin θ = 0 ⇒ θ = nπ; cos θ = 0 ⇒ θ = (2n + 1)π/2; येथे n कोणताही पूर्णांक आहे

त्रिकोणांची उकल, उंची आणि अंतर

प्रजासत्ताकदिनी शाळेच्या ध्वजस्तंभाची उंची शोधणे: ठराविक अंतरावर उभे राहा, मान किती वर करावी लागते ते मोजा, आणि स्तंभावर न चढता tan वापरून उंची काढा.

साइन नियम: a/sin A = b/sin B = c/sin C = 2R (R = परिवर्तुळाची त्रिज्या (Circumradius))
कोसाइन नियम: cos A = (b² + c² − a²)/(2bc), म्हणजेच a² = b² + c² − 2bc cos A
प्रक्षेप नियम (Projection rule): a = b cos C + c cos B
क्षेत्रफळ Δ = ½ bc sin A = √[s(s − a)(s − b)(s − c)], s = (a + b + c)/2
R = abc/(4Δ); अंतर्वर्तुळाची त्रिज्या (Inradius) r = Δ/s
उंची h = d tan θ; टोकावरून मोजलेला अवनत कोन = जमिनीवरील बिंदूपासून मोजलेला उन्नत कोन
पायथ्याच्या रेषेत, एकमेकांपासून d अंतरावर असलेल्या दोन बिंदूंपासून उन्नत कोन α आणि β (α > β): h = d tan α tan β/(tan α − tan β)

व्यस्त त्रिकोणमितीय फलने

नागपूरच्या उन्हाळ्यात तापमानावरून वेळ ओळखणे: एकच तापमान दिवसातून दोनदा येते, म्हणून तापमानावरून वेळ सांगण्यासाठी फक्त सकाळचे, तापमान चढत असतानाचे तासच पाहायचे असे ठरवायचे: हेच मुख्य मूल्य.

sin⁻¹x: प्रांत (Domain) [−1, 1], विस्तार (Range) [−π/2, π/2]
cos⁻¹x: प्रांत [−1, 1], विस्तार [0, π]; tan⁻¹x: प्रांत सर्व वास्तव x, विस्तार (−π/2, π/2)
sin⁻¹x + cos⁻¹x = π/2; tan⁻¹x + cot⁻¹x = π/2; sec⁻¹x + cosec⁻¹x = π/2
sin⁻¹(−x) = −sin⁻¹x; tan⁻¹(−x) = −tan⁻¹x; पण cos⁻¹(−x) = π − cos⁻¹x
tan⁻¹x + tan⁻¹y = tan⁻¹[(x + y)/(1 − xy)], जेव्हा xy < 1
2 tan⁻¹x = tan⁻¹[2x/(1 − x²)], जेव्हा |x| < 1
sin⁻¹(sin θ) = θ फक्त θ हा [−π/2, π/2] मध्ये असेल तेव्हा; cos⁻¹(cos θ) = θ फक्त θ हा [0, π] मध्ये असेल तेव्हा

संभाव्यता: मूलभूत संकल्पना, परावलंबी आणि स्वतंत्र घटना

गणपती मंडळाची लकी ड्रॉ सोडत: चिठ्ठी परत न टाकता पुढची काढली तर पुढची सोडत आधीच्या सोडतीवर अवलंबून असते; चिठ्ठी परत टाकली तर सोडती स्वतंत्र राहतात.

P(A) = n(A)/n(S); 0 ≤ P(A) ≤ 1; P(A′) = 1 − P(A)
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B); परस्पर वर्ज्य (Mutually exclusive) म्हणजे P(A ∩ B) = 0
P(B | A) = P(A ∩ B)/P(A)
स्वतंत्र: P(A ∩ B) = P(A) P(B); मग A′ आणि B′ सुद्धा स्वतंत्र असतात
P(किमान एक) = 1 − P(एकही नाही)
बेझ: P(Eᵢ | A) = P(Eᵢ) P(A | Eᵢ) / Σ P(Eⱼ) P(A | Eⱼ)
दोन फासे: 36 निष्पत्ती; बेरीज 7 येण्याचे 6 मार्ग (सर्वाधिक शक्यता असलेली बेरीज)
अनुकूल शक्यता (Odds in favour) a : b म्हणजे P = a/(a + b)

सरासरी, अपस्करण, वैषम्य आणि कुकुदता

गावच्या दूध डेअरीवरचे संध्याकाळचे दूधसंकलन: मध्य, मध्यक आणि बहुलक सांगतात की नेहमीचा शेतकरी किती दूध आणतो; प्रमाण विचलन सांगते की शेतकऱ्यांमध्ये किती फरक आहे; आणि एकच मोठा शेतकरी वैषम्य निर्माण करतो.

मध्य x̄ = Σfx/Σf; वर्गीकृत सामग्रीचा मध्यक = l + [(N/2 − cf)/f] × h; वर्गीकृत सामग्रीचा बहुलक = l + [(f₁ − f₀)/(2f₁ − f₀ − f₂)] × h
अनुभवसिद्ध संबंध (Empirical relation; मध्यम वैषम्य असलेल्या सामग्रीसाठी): बहुलक = 3 मध्यक − 2 मध्य (Mode = 3 Median − 2 Mean)
विचरण (Variance) σ² = Σ(x − x̄)²/n = Σx²/n − x̄²; SD σ = √विचरण
विचरणांक (Coefficient of variation) CV = (σ/x̄) × 100; CV कमी म्हणजे अधिक सातत्य
विस्तार (Range) = max − min; चतुर्थक विचलन (Quartile deviation) = (Q₃ − Q₁)/2
y = ax + b ⇒ ȳ = ax̄ + b आणि σᵧ = |a|σₓ (b मिळवल्याने SD बदलत नाही)
कार्ल पिअर्सनचा वैषम्यांक Sk = (Mean − Mode)/σ = 3(Mean − Median)/σ
कुकुदता β₂ = μ₄/μ₂²: β₂ = 3 मध्यकुकुदी (Mesokurtic, प्रसामान्य), β₂ > 3 तुंगकुकुदी (Leptokurtic, टोकदार), β₂ < 3 सपाटकुकुदी (Platykurtic, सपाट)

यादृच्छिक चल आणि संभाव्यता वितरणे

देवगड हापूस आंब्यांच्या पेट्या भरणे: पेटीतले खराब आंबे हा यादृच्छिक चल आहे; तो द्विपदी नियम पाळतो, दुर्मीळ किडीचा प्रादुर्भाव पॉयसाँ नियम पाळतो, आणि आंब्यांची वजने प्रसामान्य घंटाकृती वक्र पाळतात.

विविक्त यादृच्छिक चल (RV): Σp(x) = 1; E(X) = Σx p(x); Var(X) = E(X²) − [E(X)]²
E(aX + b) = aE(X) + b; Var(aX + b) = a² Var(X)
द्विपदी B(n, p): P(X = r) = ⁿCᵣ pʳ qⁿ⁻ʳ, q = 1 − p; मध्य np, विचरण npq (विचरण < मध्य)
पॉयसाँ: P(X = r) = e^−λ λʳ / r!; मध्य = विचरण = λ
प्रसामान्य N(μ, σ²): सममित; मध्य = मध्यक = बहुलक; एकूण क्षेत्रफळ 1; एका बिंदूसाठी P(X = a) = 0
प्रमाणित प्रसामान्य Z = (X − μ)/σ चा मध्य 0 आणि SD 1 असते
सुमारे 68%, 95% आणि 99.7% मूल्ये मध्यापासून अनुक्रमे 1, 2 आणि 3 SD च्या आत असतात
सतत यादृच्छिक चल: f(x) ≥ 0 आणि एकूण क्षेत्रफळ ∫f(x) dx = 1

सहसंबंध, समाश्रयण आणि वक्र बसवणे

पुण्यातील कोचिंग क्लासमधील अभ्यासाचे तास आणि गुण: ठिपके एका रेषेला किती घट्ट धरून आहेत हे सहसंबंध मोजतो; समाश्रयण म्हणजे त्यांच्यामधून ठेवलेली सर्वोत्तम पट्टीची रेषा, जी अंदाज बांधण्यासाठी वापरतात.

r = cov(x, y)/(σₓσᵧ), सहविचरण (Covariance) cov(x, y) = Σ(x − x̄)(y − ȳ)/n; −1 ≤ r ≤ 1
x वरील y: y − ȳ = b_yx(x − x̄), b_yx = r σᵧ/σₓ
y वरील x: x − x̄ = b_xy(y − ȳ), b_xy = r σₓ/σᵧ
b_yx × b_xy = r²; r = ±√(b_yx b_xy), चिन्ह गुणांकांचेच
दोन्ही समाश्रयण रेषा (x̄, ȳ) मधून जातात; r = ±1 असल्यास त्या एकरूप होतात
न्यूनतम वर्ग रेषा y = a + bx: Σy = na + bΣx आणि Σxy = aΣx + bΣx²
स्पिअरमनचा क्रम सहसंबंध गुणांक (Rank correlation): R = 1 − 6Σd²/[n(n² − 1)]

गुणोत्तर, प्रमाण आणि शेकडेवारी

रमेशकाकांच्या किराणा दुकानातला एक दिवस: तांदळाच्या दोन प्रती मिसळणे म्हणजे गुणोत्तर, सवलतीचा फलक म्हणजे शेकडेवारी, आणि एकामागून एक दिलेल्या दोन सवलती सरळ बेरजेने मिळत नाहीत.

a : b = c : d ⇒ ad = bc; a आणि b चे मध्य प्रमाणपद (Mean proportional) = √(ab); तृतीय प्रमाणपद (Third proportional) = b²/a
N ला a : b : c गुणोत्तरात वाटल्यास → वाटे aN/(a + b + c), bN/(a + b + c), cN/(a + b + c)
y चे x% = x चे y%
a% आणि b% क्रमागत बदल: निव्वळ बदल = a + b + ab/100
किंमत r% वाढली ⇒ खर्च तेवढाच ठेवण्यासाठी वापर r/(100 + r) × 100% ने कमी करा
A हा B पेक्षा r% जास्त असेल, तर B हा A पेक्षा r/(100 + r) × 100% कमी असतो
नफा% (Profit%) = (SP − CP)/CP × 100; सूट% (Discount%) = (MP − SP)/MP × 100
मिश्रण नियम: स्वस्त : महाग = (महाग किंमत − सरासरी किंमत) : (सरासरी किंमत − स्वस्त किंमत)

काळ आणि काम (नळ आणि टाकीसह)

सोसायटीची ओव्हरहेड टाकी भरणे: दर तासाचा विचार करा: प्रत्येक मोटर दर तासाला टाकीचा एक अपूर्णांक भाग भरते, अपूर्णांक मिळवायचे, आणि गळती वजा करायची.

A काम a दिवसांत पूर्ण करतो ⇒ A चे एका दिवसाचे काम = 1/a
दोघे एकत्र: वेळ T = ab/(a + b); तिघे एकत्र: 1/T = 1/a + 1/b + 1/c
M₁D₁H₁/W₁ = M₂D₂H₂/W₂ (कामाच्या प्रत्येक एककामागे माणसे × दिवस × तास)
नळ: भरणारा नळ +, रिकामा करणारा नळ किंवा गळती −; निव्वळ दर × वेळ = 1 टाकी
A हा B पेक्षा k पट कार्यक्षम (Efficient) असेल, तर A ला B च्या वेळेच्या 1/k वेळ लागतो
मजुरी केलेल्या कामाच्या गुणोत्तरात वाटली जाते
लसावि पद्धत: एकूण काम = दिलेल्या दिवसांचा लसावि; प्रत्येकाचा दर = एकूण काम ÷ स्वतःचे दिवस

वेळ, वेग आणि अंतर

दादर स्टेशनवर मुंबई लोकल पाहताना: खांब ओलांडायला गाडीला स्वतःची लांबी, फलाट ओलांडायला स्वतःची लांबी अधिक फलाटाची लांबी पार करावी लागते, आणि दोन गाड्यांना फक्त त्यांचा सापेक्ष वेगच जाणवतो.

अंतर = वेग × वेळ; 1 km/h = 5/18 m/s; 1 m/s = 18/5 km/h
सरासरी वेग = एकूण अंतर ÷ एकूण वेळ; समान अंतरे u आणि v वेगाने: 2uv/(u + v)
खांब किंवा व्यक्ती ओलांडणारी गाडी: वेळ = गाडीची लांबी ÷ वेग
फलाट, पूल किंवा दुसरी गाडी ओलांडणारी गाडी: अंतर = लांबींची बेरीज
सापेक्ष वेग: एकाच दिशेने u − v; विरुद्ध दिशांनी u + v
होडीचा वेग b, प्रवाहाचा वेग s: प्रवाहाच्या दिशेने b + s, प्रवाहाविरुद्ध b − s; b = (down + up)/2, s = (down − up)/2
ठराविक अंतरासाठी वेळ ही वेगाशी व्यस्त प्रमाणात असते

संच, संबंध आणि फलने

ग्रामपंचायतीतील आधार नोंदणी शिबिर: प्रत्येक गावकऱ्याला बरोबर एकच आधार क्रमांक देणे म्हणजे फलन; कोणत्याही दोघांचा क्रमांक सारखा नसणे म्हणजे एकास-एक; आणि प्रत्येक क्रमांक वापरला जाणे म्हणजे आच्छादक.

n(A ∪ B) = n(A) + n(B) − n(A ∩ B); n(A ∪ B ∪ C) = Σn(A) − Σn(A ∩ B) + n(A ∩ B ∩ C)
डी मॉर्गनचे नियम (De Morgan): (A ∪ B)′ = A′ ∩ B′; (A ∩ B)′ = A′ ∪ B′
n घटक असलेल्या संचाचे 2ⁿ उपसंच (Subsets) असतात (2ⁿ − 1 उचित उपसंच (Proper subsets))
n(A × B) = mn; A पासून B कडे जाणाऱ्या संबंधांची संख्या = 2^mn; n घटकांच्या संचावरील संबंध = 2^n²
समतुल्यता संबंध = स्वावर्ती + सममित + संक्रामी
A (m घटक) पासून B (n घटक) कडे फलने: एकूण nᵐ; एकास-एक: ⁿPₘ (m ≤ n); m = n असताना एकास-एक संगती: n!
(f ∘ g)(x) = f(g(x)); सामान्यतः f ∘ g ≠ g ∘ f; f एकास-एक संगती असेल तरच f⁻¹ अस्तित्वात असते

क्षेत्रमिती 2D: त्रिकोण, चौकोन, वर्तुळ

नव्या फ्लॅटच्या जमिनीवर फरश्या बसवणे: लागणाऱ्या फरश्या म्हणजे क्षेत्रफळ, भिंतींच्या कडेने लावायची स्कर्टिंगची पट्टी म्हणजे परिमिती, आणि खोलीचा आकार दुप्पट केला तर फरश्या चौपट लागतात.

त्रिकोण: ½ × पाया × उंची = ½ ab sin C; हेरॉन: √[s(s − a)(s − b)(s − c)], s = (a + b + c)/2
a बाजूचा समभुज त्रिकोण: क्षेत्रफळ (√3/4)a², उंची (√3/2)a
आयत: क्षेत्रफळ lb, परिमिती 2(l + b), कर्ण √(l² + b²); चौरस: क्षेत्रफळ a² = d²/2, कर्ण a√2
समांतरभुज चौकोन (Parallelogram): पाया × उंची; समभुज चौकोन: ½ d₁d₂, बाजू = ½√(d₁² + d₂²); समलंब चौकोन (Trapezium): ½ (समांतर बाजूंची बेरीज) × उंची
वर्तुळ: क्षेत्रफळ πr², परीघ 2πr; अर्धवर्तुळाची परिमिती πr + 2r; कडे/वलय (Ring): π(R² − r²)
θ° कोनाचे त्रिज्याखंड: क्षेत्रफळ (θ/360)πr², कंसाची लांबी (Arc length) (θ/360) × 2πr
चाक: एका फेऱ्यात कापलेले अंतर = परीघ; फेरे = अंतर ÷ 2πr
प्रत्येक लांबी × k ⇒ परिमिती × k, क्षेत्रफळ × k² (r मध्ये 10% वाढ ⇒ क्षेत्रफळात 21% वाढ)

क्षेत्रमिती 3D: घन, इष्टिकाचिती, गोल, वृत्तचिती, शंकू

रविवारी संध्याकाळी आइस्क्रीम पार्लरमध्ये: आतले आइस्क्रीम म्हणजे घनफळ, बाहेरचे कागदी वेष्टन म्हणजे पृष्ठफळ, आणि सारख्याच पाया व उंचीचे तीन शंकू-कप मिळून एक टब भरतो.

इष्टिकाचिती (Cuboid): V = lbh; TSA = 2(lb + bh + hl); कर्ण √(l² + b² + h²)
घन (Cube): V = a³; TSA = 6a²; कर्ण a√3
वृत्तचिती: V = πr²h; CSA = 2πrh; TSA = 2πr(r + h)
शंकू: V = ⅓πr²h; CSA = πrl; TSA = πr(l + r); l = √(r² + h²)
गोल: V = (4/3)πr³; पृष्ठफळ 4πr²
अर्धगोल: V = (2/3)πr³; CSA = 2πr²; TSA = 3πr²
पुनर्घडण: आधीचे घनफळ = नंतरचे घनफळ; लहान तुकड्यांची संख्या = मोठे घनफळ ÷ एका लहान तुकड्याचे घनफळ
लांबी × k ⇒ पृष्ठफळ × k², घनफळ × k³

तार्किक / अमूर्त तर्कशक्ती

संख्या मालिका

गल्ल्यातली बचत: गल्ल्यातली एकूण रक्कम बघत बसू नका; रोज किती भर पडली ते बघा.

पायऱ्यांचा क्रम: फरक → दुसरे फरक → गुणोत्तर → वर्ग/घन → आलटून-पालटून स्थाने
फरक सारखे: अंकगणिती श्रेढी (a, a + d, a + 2d …)
फरक 2, 4, 6, 8 … किंवा 5, 7, 9, 11 …: दुसरा फरक स्थिर
झपाट्याने वाढ: ×k, ×k + c, ×k − c तपासा (उदा. 5, 11, 23, 47 म्हणजे ×2 + 1)
30² पर्यंतचे वर्ग आणि 15³ पर्यंतचे घन तोंडपाठ ठेवा
n(n + 1): 2, 6, 12, 20, 30 …; n² − 1: 3, 8, 15, 24 …; n³ + n: 2, 10, 30, 68 …
लांब (7–8 पदांची) आणि वर-खाली होणारी मालिका: विषम व सम स्थाने वेगळी तपासा
चुकीची संख्या शोधताना: चुकीच्या पदामुळे सहसा लागोपाठचे दोन फरक विचित्र दिसतात

अक्षर मालिका व अक्षर-अंक मालिका

सोसायटीतील गोल गल्लीतले बंगले: प्रत्येक अक्षर म्हणजे 1 ते 26 मधला एक घर क्रमांक, आणि गल्ली फिरून पुन्हा सुरुवातीला येते.

EJOTY: E = 5, J = 10, O = 15, T = 20, Y = 25
उजव्या टोकाकडून स्थान = 27 − डावीकडून स्थान
विरुद्ध जोड्यांची बेरीज 27: A–Z, B–Y, C–X, D–W, E–V, F–U, G–T, H–S, I–R, J–Q, K–P, L–O, M–N
Z च्या पुढे गेलात तर 26 वजा करा; A च्या मागे गेलात तर 26 मिळवा
“X च्या डावीकडे k वे” = X चे स्थान − k; “उजवीकडे k वे” = स्थान + k
अक्षरगट: पहिली अक्षरे, दुसरी अक्षरे (आणि अंक) स्वतंत्र मालिका म्हणून सोडवा
स्वर A, E, I, O, U ची स्थाने 1, 5, 9, 15, 21

सांकेतिक भाषा

मुंबईच्या डबेवाल्यांचा डब्यावरचा कोड: प्रत्येक डब्यावर एक छोटा कोड असतो; सगळ्या डब्यांना एकच नियम लागतो, म्हणून एक डबा उलगडला की बाकी सगळे समजतात.

स्थाने नेहमी वर आणि खाली लिहा: अक्षरा-अक्षराने तुलना करा
आधी स्थिर अंतराने सरकवणे तपासा, मग उलटा शब्द, मग विरुद्ध अक्षरे (बेरीज 27)
विरुद्ध अक्षर कोड: GIRL → TRIO, कारण G↔T, I↔R, R↔I, L↔O
संख्या कोड: आधी स्थानांची बेरीज, मग गुणाकार, मग अक्षरांची संख्या तपासा
वाक्य कोड: समान शब्द ↔ समान कोड; वाक्यांच्या जोड्या वापरा
प्रतिस्थापन: आधी खऱ्या प्रश्नाचे उत्तर, मग त्याचे सांकेतिक नाव
कोड शब्दापेक्षा लहान किंवा मोठा असेल, तर अक्षरे गाळली, वाढवली किंवा गटात बांधली गेली आहेत

नातेसंबंध

लग्नातला कुटुंबाचा फोटो: लग्नातला फोटोग्राफर उभे करतो तसे सगळ्यांना उभे करा: वर आजी-आजोबा, मध्ये आई-वडील, खाली मुले, आणि जोडपी शेजारी-शेजारी.

चिन्हे: + पुरुष, − स्त्री, = विवाहित जोडपे, | पालक ते मूल, — भावंडे
एकाच पिढीचे लोक एकाच आडव्या पातळीवर
वडिलांचा किंवा आईचा भाऊ = काका/मामा (uncle); त्यांची बहीण = आत्या/मावशी (aunt); त्यांची मुले = चुलत/मावस/आते/मामे भावंडे (cousins)
मुलाची बायको = सून (daughter-in-law); मुलीचा नवरा = जावई (son-in-law)
बायकोचा किंवा नवऱ्याचा भाऊ = मेहुणा/दीर (brother-in-law); बहिणीचा नवरा = मेहुणा/भावोजी (brother-in-law)
“माझ्या वडिलांच्या वडिलांचा एकुलता एक मुलगा” = माझे वडील; “माझ्या आईची एकुलती एक मुलगी” = मी (मी स्त्री असल्यास)
सांगितल्याशिवाय लिंग अज्ञात — “A हे B चे अपत्य आहे” यावरून A चे लिंग कळत नाही
लांबलचक “बोट दाखवून” वाक्ये शेवटाकडून मागे उलगडा

दिशा

एसटी स्टँडपासून गावातल्या घरापर्यंतचा रस्ता: एसटी स्टँडला सुरुवातीचा बिंदू माना, प्रत्येक रस्ता कागदावर काढा, आणि चालणारा जसा वळतो तसे वळा — तुम्ही जसे बसला आहात तसे नाही.

उजवे वळण = घड्याळाच्या दिशेने 90°; डावे वळण = घड्याळाच्या विरुद्ध दिशेने 90° (सध्याच्या दिशेपासून)
घड्याळाच्या दिशेने क्रम: उ → पू → द → प → उ (N → E → S → W → N); 45° वळणे: उत्तर → ईशान्य (NE) → पूर्व → आग्नेय (SE) → दक्षिण …
निव्वळ x = पूर्व − पश्चिम; निव्वळ y = उत्तर − दक्षिण; अंतर = √(x² + y²)
त्रिकुटी: 3-4-5, 6-8-10, 5-12-13, 8-15-17, 7-24-25
सकाळ: सूर्य पूर्वेला, सावली पश्चिमेकडे. संध्याकाळ: सूर्य पश्चिमेला, सावली पूर्वेकडे
“B पासून A ची दिशा” म्हणजे B वर उभे राहून A कडे पाहा
यू-टर्न म्हणजे 180°; दोन उजवी किंवा दोन डावी वळणे घेतली तरी दिशा उलटते

क्रमवारी

रेशन दुकानासमोरची रांग: पुढून तुमचा क्रमांक आणि मागून तुमचा क्रमांक यांत तुम्ही दोनदा मोजले जाता, म्हणून एक वजा करा.

एकूण = L + R − 1
उजवीकडून स्थान = एकूण − L + 1
दोघांच्या मध्ये (एकाच टोकापासून स्थाने a आणि b): |a − b| − 1
अदलाबदल: A चे नवे स्थान = B चे जुने स्थान (एकाच टोकापासून)
क्रम लावणे: > वापरून एकच साखळी बनवा आणि वरून k वा वाचा
A डावीकडून p वा आणि B उजवीकडून q वा (B हा A च्या उजवीकडे, जागा एकमेकांवर येत नाहीत) तर रांगेत किमान एकूण = p + q

बैठक व्यवस्था — रेषीय व वर्तुळाकार

मुंबई लोकलच्या डब्यातील आसने: आधी एका व्यक्तीची जागा पक्की करा, आणि लक्षात ठेवा — “तुमची उजवी बाजू” तुमचा बाक कोणत्या दिशेला तोंड करून आहे यावर ठरते.

उत्तरेकडे तोंड: त्यांची उजवी = कागदाची उजवी. दक्षिणेकडे तोंड: त्यांची उजवी = कागदाची डावी
वर्तुळ, मध्याकडे तोंड: उजवी = घड्याळाच्या विरुद्ध, डावी = घड्याळाच्या दिशेने
वर्तुळ, बाहेर तोंड: उजवी = घड्याळाच्या दिशेने, डावी = घड्याळाच्या विरुद्ध
“लगेच उजवीकडे” (immediate right) = अगदी पुढची जागा; “उजवीकडे दुसरा” = एक जागा सोडून
वर्तुळात n लोक: समोरची व्यक्ती n/2 जागा दूर (n सम)
आधी निश्चित संकेत, मग सापेक्ष संकेत, मग नकारात्मक संकेत (“शेजारी नाही”)
दोन शक्यता? दोन्ही शेजारी-शेजारी काढा आणि बाद करा

कोडी — वेळापत्रक, मजले व अनेक गुणधर्मांचे तक्ते

गणपती मंडळाच्या स्वयंसेवकांचे वेळापत्रक: स्वयंसेवक × दिवस असा तक्ता करा, आधी पक्क्या गोष्टींवर बरोबरची खूण करा, अशक्य गोष्टींवर फुली मारा, आणि रिकाम्या जागा आपोआप भरतात.

दुसरा संकेत वाचण्याआधीच तक्ता काढा
क्रम: निश्चित → जोडलेले → नकारात्मक संकेत
“लगेच वर/नंतर” = अगदी पुढचा; “वर/नंतर” = वरचा/नंतरचा कोणताही
प्रत्येक व्यक्ती–मूल्य जोडी नेमकी एकदाच (प्रत्येक ओळीत व स्तंभात एकच खूण)
दोन प्रकरणे? दोन्ही सोडवा; टिकून राहते ते उत्तर
प्रश्नात “तळमजला = 0” असे म्हटले नसेल तर मजला 1 सर्वात खाली
उत्तर देण्याआधी प्रत्येक संकेत अंतिम तक्त्याशी पडताळा

सिलॉजिझम (तर्कवाक्ये)

व्हॉट्सॲप ग्रुप आणि त्यांचे सदस्य: प्रत्येक वर्ग म्हणजे एक व्हॉट्सॲप ग्रुप; ग्रुप एकमेकांवर कसेही येऊ शकले तरी जो निष्कर्ष प्रत्येक वेळी खरा ठरतो, तोच निघतो.

All A are B → A हे B च्या आत; शिवाय Some A are B आणि Some B are A
Some A are B → Some B are A (किमान एक समान)
No A is B → No B is A
All A–B + All B–C → All A are C; All A–B + No B–C → No A is C; Some A–B + All B–C → Some A are C; Some A–B + No B–C → Some A are not C
Some + Some, किंवा No + No, किंवा All (A हे B मध्ये) + Some (B आणि C): A–C बद्दल निश्चित निष्कर्ष नाही
“All A are B” वरून “All B are A” निघत नाही — पण ती एक शक्यता आहे
एखाद्या निश्चित विधानाने मनाई केली तरच शक्यता बाद होते
Either–or: त्याच दोन पदांवरील पूरक जोडी (Some/No, किंवा All/Some-not), ज्यातील कोणताही एकटा निश्चित नाही

विधाने — गृहीतके, निष्कर्ष व अनुमाने

ग्रामपंचायतीची दवंडी: दवंडी म्हणजे विधान; तिच्यामागचा न बोललेला विश्वास म्हणजे गृहीतक; आणि गावकरी जे खात्रीने समजू शकतात तो निष्कर्ष.

गृहीतक = विधान ज्यावर अवलंबून आहे असा न सांगितलेला विश्वास
नकार चाचणी: गृहीतक खोटे असेल तर विधानाचा हेतूच संपतो का?
निष्कर्ष = फक्त दिलेल्या शब्दांतूनच निघायला हवा
टोकाचे शब्द (फक्त, सर्व, कधीच नाही, नेहमी, सर्वोत्तम) बहुतेक वेळा पर्याय चुकीचा ठरवतात
सल्ला/आवाहन असे गृहीत धरते की सल्ला उपयोगी आहे आणि लोक तो पाळू शकतात
अनुमानाचे प्रश्न: नवी तथ्ये नाहीत, भविष्याचे भाकीत नाही, सामान्यीकरण नाही
खऱ्या जगातले सत्य गैरलागू — फक्त विधान महत्त्वाचे

सादृश्य व वर्गीकरण (विसंगत घटक ओळखा)

किराणा दुकानातील कपाटे: कप्प्याचे लेबल (समान गुणधर्म) ओळखा; त्या कप्प्यात न बसणारी वस्तू म्हणजे विसंगत घटक.

A–B संबंध एका वाक्यात सांगा, आणि तेच वाक्य C साठी वापरा
नेहमीचे शब्दसंबंध: साधन–उपयोग, कामगार–कामाचे ठिकाण, वस्तू–एकक, भाग–संपूर्ण, समानार्थी/विरुद्धार्थी
संख्या सादृश्य: n², n³, n² ± 1, n³ ± n, n × (n + 1) तपासा
संख्यांतील विसंगत घटक: मूळ संख्या, वर्ग, घन, सम/विषम, अंकांची बेरीज
अक्षरगट: स्थानांत रूपांतर करून अंतरांची तुलना करा
चांगला नियम नेमकी एकच वस्तू बाहेर ठेवतो
क्रम पाळा: A : B :: C : D, B : A नव्हे

दिनदर्शिका व घड्याळ

गावचा आठवडी बाजार: पूर्ण आठवडे तुम्हाला पुन्हा त्याच बाजाराच्या वारावर आणतात; फक्त उरलेले दिवस वार पुढे सरकवतात.

विषम दिवसांचा कोड: 0 रवि, 1 सोम, 2 मंगळ, 3 बुध, 4 गुरु, 5 शुक्र, 6 शनि
साधे वर्ष = 1 विषम दिवस; लीप वर्ष = 2 विषम दिवस
100 वर्षे = 5, 200 वर्षे = 3, 300 वर्षे = 1, 400 वर्षे = 0 विषम दिवस
लीप वर्ष: ÷ 4, पण शतक वर्षांना ÷ 400 हवा
कोन = |30H − 5.5M| (> 180° आल्यास 360 − कोन वापरा)
काटे H नंतर 60H/11 मिनिटांनी एकत्र; दिवसातून 22 वेळा
काटे दिवसातून 44 वेळा काटकोनात; सरळ रेषेत (0° किंवा 180°) दिवसातून 44 वेळा

वेन आकृती व माहितीची पर्याप्तता

क्रीडा दिनाच्या संघ याद्या: कबड्डी आणि खो-खो: दोन्ही संघांत असलेले विद्यार्थी सामायिक भागात बसतात आणि एकदाच मोजायचे; आणि प्रशिक्षक फक्त “ही चिठ्ठी पुरेशी आहे का?” एवढेच विचारतात, पूर्ण उत्तर नाही.

n(A ∪ B) = n(A) + n(B) − n(A ∩ B)
फक्त A = n(A) − n(A ∩ B); एकही नाही = एकूण − n(A ∪ B)
तीन संच: n(A ∪ B ∪ C) = A + B + C − (AB + BC + CA) + ABC
उपसंच (माता ⊂ स्त्रिया): वर्तुळ आत; समान सदस्य शक्य: छेदणारी वर्तुळे; समान सदस्य अशक्य: वेगळी वर्तुळे
DS चा क्रम: फक्त I → फक्त II → एकत्र
पुरेसे = नेमके एकच निश्चित उत्तर (हो/नाही साठी: निश्चित हो किंवा निश्चित नाही)
DS मध्ये अंतिम किंमत काढू नका — काढता येईल का एवढेच ठरवा

अशाब्दिक तर्क — आरशातील प्रतिमा/जलप्रतिमा, कागद घडी, फासा व आकृती मालिका

न्हाव्याच्या दुकानातला आरसा आणि गावचे तळे: भिंतीवरचा आरसा डावी-उजवी बाजू उलटतो; तळे वर-खाली उलटते; बाकी काहीच बदलत नाही.

आरसा (उभा): डावी ↔ उजवी; पाणी (आडवे): वर ↔ खाली
आरशातील घड्याळाची वेळ = 11:60 − खरी वेळ
उभ्या आरशात सममित अक्षरे: A H I M O T U V W X Y
पाण्यात सममित अक्षरे: B C D E H I K O X
n घड्या → 2ⁿ थर → एका छिद्राने 2ⁿ छिद्रे (घडीवर नसल्यास)
फाशावर एकत्र दिसणाऱ्या बाजू शेजारच्या, कधीच समोरासमोर नाहीत
प्रमाणित फासा: समोरासमोरच्या बाजूंची बेरीज 7
आकृती मालिका: आधी फिरण्याचा कोन आणि दिशा तपासा

इंग्रजी आकलन व शाब्दिक क्षमता

उतारा आकलन

गावाकडून आलेला आईचा फोन: आईने जे प्रत्यक्ष सांगितले आणि जे सूचित केले, त्यावरूनच उत्तर द्या; इतर कुठे ऐकलेल्या गप्पांवरून कधीच नाही.

मुख्य कल्पना = संपूर्ण उताऱ्याला लागू पडणारे एकच विधान; फार अरुंद (एक उदाहरण) आणि फार व्यापक (उताऱ्याच्या पलीकडचे) पर्याय बाद करा.
तपशीलाचा प्रश्न: मुख्य शब्द (keyword) उताऱ्यात शोधा आणि त्याच्या आधीचे व नंतरचे वाक्य वाचा. योग्य पर्याय सहसा तोच अर्थ वेगळ्या शब्दांत (paraphrase) सांगतो; उताऱ्यातील शब्द जसेच्या तसे उचलणारा पर्याय अनेकदा सापळा असतो.
अनुमान = उताऱ्यावरून नक्कीच खरे ठरणारे, उताऱ्याच्या एक पाऊल पुढचे विधान. “खरे असू शकेल” एवढे पुरेसे नाही.
उताऱ्याबाहेरचे (out of scope): प्रत्यक्ष जगात खरे पण उताऱ्यात आधार नसलेले = चूक.
टोकाचे शब्द (always, never, only, all, completely) ही धोक्याची घंटा आहे; मवाळ शब्द (may, often, some, largely) अधिक सुरक्षित.
सूर: विशेषणे आणि विरोधदर्शक शब्दांवरून ठरवा. उपरोध (sarcasm) म्हणजे म्हणायचे असते त्याच्या उलट बोलणे, किंवा अतिशयोक्ती करून टिंगल करणे.
संदर्भातील शब्दार्थ: प्रत्येक पर्याय वाक्यात घालून पाहा. शब्दकोशातील नेहमीचा अर्थ इथे वापरलेला अर्थ नसतो, असे अनेकदा होते.
योग्य शीर्षक: लहान, संपूर्ण उताऱ्याला लागू पडणारे, आणि लेखकाचा भर व सूर यांच्याशी जुळणारे.

समानार्थी आणि विरुद्धार्थी शब्द

रंगाच्या दुकानातील शेड कार्ड: समानार्थी शब्द (synonym) म्हणजे त्याच पट्टीवरची सर्वांत जवळची छटा; विरुद्धार्थी शब्द (antonym) म्हणजे त्याच पट्टीचे दुसरे टोक.

समानार्थी शब्द = सर्वांत जवळचा अर्थ आणि तीच शब्दजात: abundant (adj) → plentiful (adj).
विरुद्धार्थी शब्द = त्याच मापपट्टीवरचा उलटा अर्थ: verbose ↔ concise (“silent” नव्हे).
आधी छटा (+/−) ठरवा: frugal (+, काटकसरी) विरुद्ध stingy (−, कंजूस). समानार्थी शब्दात योग्य उत्तराची छटा तीच राहते, विरुद्धार्थी शब्दात ती उलटते.
वारंवार येणाऱ्या जोड्या (शब्द – समानार्थी / विरुद्धार्थी): candid – frank / evasive; diligent – industrious / lazy; obsolete – outdated / modern; lethargic – sluggish / energetic; ephemeral – short-lived / permanent.
आणखी जोड्या: benevolent – kind / malevolent; garrulous – talkative / reticent; meticulous – careful / careless; ameliorate – improve / worsen; adversity – hardship / prosperity; abundant – plentiful / scarce.
in-, im-, un-, dis- हे उपसर्ग (prefixes) अनेकदा विरुद्धार्थी शब्द बनवतात, पण नेहमी नाही: inflammable = सहज पेट घेणारा (flammable सारखाच अर्थ); invaluable = अनमोल.
दिसायला सारखे शब्द: eminent (प्रसिद्ध) / imminent (लवकरच घडणारे); ephemeral (अल्पकाळ टिकणारे) / ethereal (नाजूक, स्वर्गीय); adverse (प्रतिकूल) / averse (नाखूश, विरोधी).

शब्दसंपत्ती: शब्दसमूहाबद्दल एक शब्द आणि गोंधळात टाकणारे शब्द

पोस्टमन आणि पिन कोड: शब्दसमूहाबद्दल एक शब्द (one-word substitution) म्हणजे लांबलचक पत्त्याचा पिन कोड; गोंधळात टाकणारे शब्द म्हणजे जवळजवळ सारख्या नावाची दोन घरे.

-cide (हत्या): homicide (माणसाची), regicide (राजाची), patricide (वडिलांची), matricide (आईची), fratricide (भावाची), infanticide (अर्भकाची), genocide (संपूर्ण जनसमूहाची).
-cracy (… चे राज्य): autocracy (एका व्यक्तीची अनियंत्रित सत्ता), bureaucracy (अधिकाऱ्यांचे), theocracy (धार्मिक सत्तेचे), plutocracy (श्रीमंतांचे), aristocracy (उमरावांचे).
omni- (सर्व): omnipotent (सर्वशक्तिमान), omniscient (सर्वज्ञ), omnipresent (सर्वव्यापी), omnivorous (वनस्पती आणि प्राणी दोन्ही खाणारा, सर्वभक्षी).
व्यक्ती: atheist (देवावर विश्वास न ठेवणारा, नास्तिक), agnostic (देव आहे की नाही हे कळू शकत नाही असे मानणारा), philanthropist (दानधर्माने मानवजातीला मदत करणारा), misanthrope (मानवजातीचा द्वेष करणारा), misogynist (स्त्रियांचा द्वेष करणारा), polyglot (अनेक भाषा बोलणारा), teetotaller (कधीही मद्य न घेणारा), novice (नवशिका), connoisseur (कला, अन्न किंवा अभिरुचीचा जाणकार).
… होऊ न शकणारे: illegible (वाचता न येणारे), inaudible (ऐकू न येणारे), incorrigible (सुधारता न येणारा), infallible (कधीही चूक न होणारा), invincible (अजिंक्य), inevitable (टाळता न येणारे), irreparable (दुरुस्त न होणारे). तसेच: posthumous (मृत्यूनंतरचे), anonymous (नाव माहीत नसलेले, अनामिक), panacea (सर्व व्याधींवरचा उपाय, रामबाण).
गोंधळात टाकणाऱ्या जोड्या (1): affect (क्रियापद, प्रभाव पाडणे) / effect (नाम, परिणाम); principal (प्रमुख; मुख्य) / principle (तत्त्व, नियम); stationary (स्थिर) / stationery (पेन, कागद इ. लेखनसाहित्य); complement (पूर्णता आणणारी गोष्ट) / compliment (स्तुती).
गोंधळात टाकणाऱ्या जोड्या (2): advice (नाम) / advise (क्रियापद); ब्रिटिश स्पेलिंगमध्ये practice (नाम) / practise (क्रियापद); loose (सैल) / lose (हरवणे); elicit (बाहेर काढणे, मिळवणे) / illicit (बेकायदेशीर); council (मंडळ, परिषद) / counsel (सल्ला; वकील); emigrate (स्वतःचा देश सोडून जाणे) / immigrate (दुसऱ्या देशात येऊन राहणे); beside (शेजारी) / besides (शिवाय, त्याव्यतिरिक्त).

वाक्प्रचार आणि शब्दसमूह

डबेवाल्याच्या डब्यावरचा कोड: वाक्प्रचार (idiom) म्हणजे डब्यावरचा कोड: तो पूर्णपणे शिकावा लागतो, अक्षर-अक्षर वाचून उलगडत नाही, आणि एक अक्षर बदलले तरी डबा दुसरीकडे जातो.

गुपित: spill the beans / let the cat out of the bag = गुपित फोडणे; smell a rat = काहीतरी गडबड असल्याचा संशय येणे.
मेहनत आणि वेळ: burn the midnight oil = रात्री उशिरापर्यंत अभ्यास/काम करणे; at the eleventh hour = अगदी शेवटच्या क्षणी; call it a day = (दिवसभराचे) काम थांबवणे; once in a blue moon = क्वचितच.
संकट आणि आश्चर्य: in hot water = अडचणीत; a bolt from the blue = पूर्णपणे अनपेक्षित, अचानक बसलेला धक्का; in the same boat = एकाच अडचणीच्या परिस्थितीत.
माणसे आणि बोलणे: beat about the bush = मुख्य मुद्दा टाळून आडवळणाने बोलणे; hit the nail on the head = नेमके योग्य बोलणे; pull someone’s leg = चेष्टा करणे; a wet blanket = इतरांच्या आनंदावर विरजण घालणारा; turn a deaf ear = मुद्दाम दुर्लक्ष करणे.
वस्तू आणि प्रसंग: a white elephant = महागडी पण निरुपयोगी वस्तू; Achilles’ heel = कमकुवत बाजू; a red-letter day = अविस्मरणीय, आनंदाचा दिवस; break the ice = अवघडलेल्या वातावरणात संभाषणाला सुरुवात करणे; cry over spilt milk = जे बदलता येत नाही त्याबद्दल पश्चात्ताप करत बसणे.
Phrasal verbs (look): look after = काळजी घेणे; look into = चौकशी करणे; look up to = आदर करणे; look down on = तुच्छ लेखणे; look forward to = आतुरतेने वाट पाहणे.
Phrasal verbs (इतर): call off = रद्द करणे; put off = पुढे ढकलणे; put up with = सहन करणे; give in = शरण जाणे; give up = सोडून देणे / थांबवणे; turn down = नाकारणे; carry out = पार पाडणे; run out of = पूर्णपणे संपणे; make up for = भरपाई करणे; bring up = मुलांचे संगोपन करणे / विषय काढणे.

शब्दांच्या जाती आणि काळ

क्रिकेटचे थेट स्कोअरकार्ड: शब्दाची जात म्हणजे या षटकात तो कोणती भूमिका बजावतो आहे; काळ म्हणजे क्रिया स्कोअरकार्डच्या कालरेषेवर कुठे आहे.

विशेषण नामाचे वर्णन करते; क्रियाविशेषण क्रियापद/विशेषण/क्रियाविशेषणाचे. जोडणारी क्रियापदे (be, seem, look, feel, taste, smell, sound, become) विशेषण घेतात.
साधा वर्तमानकाळ: सवयी, त्रिकालाबाधित सत्ये, ठरलेली वेळापत्रके. “The sun rises in the east.” “The train leaves at 7:15.”
पूर्ण वर्तमानकाळ (has/have + V3): भूतकाळातील अशी क्रिया जिचा परिणाम आत्ता महत्त्वाचा आहे, भूतकाळातील ठरलेली वेळ न सांगता. तो yesterday, ago, last year, in 2019 यांच्यासोबत कधीच येत नाही.
Since + कालबिंदू (since 2019, since Monday); for + कालावधी (for three years). यांच्यासोबत पूर्ण किंवा पूर्ण-चालू काळ वापरा: “I have been living here since 2019.”
पूर्ण भूतकाळ (had + V3) भूतकाळातील दोन क्रियांपैकी आधीची क्रिया दाखवतो: “The train had left before we reached the station.”
भविष्याबद्दलच्या वेळ व अट दाखवणाऱ्या उपवाक्यांत (when, as soon as, before, after, until, if, unless) will नव्हे तर साधा वर्तमानकाळ वापरा: “I will call you when he comes.”
संकेतार्थी वाक्ये (Conditionals): If + present, will + V1; If + past (were), would + V1; If + had + V3, would have + V3. “If I had known, I would have come.”
स्थितिदर्शक क्रियापदे (know, believe, own, “मालकीचे असणे” या अर्थी have, belong, consist, prefer) चालू काळाच्या रूपात वापरत नाहीत.

कर्ता आणि क्रियापदाची संगती

आजीचे स्टीलचे कपाट आणि त्याची किल्ली: क्रियापद ही किल्ली आहे: ती खऱ्या कुलपाला (कर्त्याला) बसली पाहिजे, जवळ लटकणाऱ्या कोणत्याही कुलपाला नव्हे.

आधी खरा कर्ता शोधा; “of…” शब्दसमूहाकडे दुर्लक्ष करा: “The quality of the mangoes is good.”
“As well as, along with, together with, with, in addition to, accompanied by, besides” कर्त्याला अनेकवचनी बनवत नाहीत: “The teacher, along with her students, was present.”
Each, every, either, neither, everyone, someone, nobody, each of + अनेकवचनी नाम → एकवचनी क्रियापद: “Each of the boys has a bicycle.”
Either…or, neither…nor, not only…but also, or, nor → क्रियापद जवळच्या कर्त्याशी जुळते: “Neither the coach nor the players were happy.”
and ने जोडलेले दोन कर्ते → अनेकवचनी; पण ते एकाच व्यक्तीचे किंवा एकाच कल्पनेचे नाव असतील तर एकवचनी: “The secretary and treasurer is here” (एकच व्यक्ती); “Bread and butter is my breakfast.”
“The number of” → एकवचनी; “A number of” → अनेकवचनी. “Many a” + एकवचनी नाम → एकवचनी क्रियापद: “Many a student has tried.”
समूहवाचक नामे: एक घटक म्हणून → एकवचनी (“The jury has given its verdict”); सदस्य स्वतंत्रपणे → अनेकवचनी (“The jury were divided in their opinions”).
दिसायला अनेकवचनी पण प्रत्यक्षात एकवचनी: news, mathematics, physics, economics, measles; एक रक्कम किंवा अंतर म्हणून सांगितलेली बेरीज (“Ten thousand rupees is a large sum”). नेहमी अनेकवचनी: police, cattle, people, scissors, trousers (पण “a pair of scissors is”).

उपपदे आणि शब्दयोगी अव्यये

रेल्वे फलाटावरील उद्घोषणा: “A train” म्हणजे कोणतीही गाडी, “the train” म्हणजे आपल्या दोघांना माहीत असलेली गाडी; at, on आणि in हे घड्याळातील बिंदूपासून दिवसाकडे आणि मग संपूर्ण महिन्याकडे झूम करतात.

a/an उच्चारावरून: an hour, an honour, an MBA, an FIR, an X-ray; a university, a uniform, a European, a one-way street.
The: ठरावीक/माहीत असलेल्या गोष्टी, एकमेव गोष्टी (the sun, the earth), श्रेष्ठतमदर्शक व क्रमवाचक (the tallest, the first), नद्या, समुद्र, महासागर, पर्वतरांगा, द्वीपसमूह (the Godavari, the Arabian Sea, the Western Ghats, the Andaman Islands), धर्मग्रंथ (the Gita), वाद्ये (plays the tabla), संपूर्ण वर्गासाठी “the + विशेषण” (the poor, the rich).
उपपद नाही: व्यक्तींची नावे, शहरे, बहुतेक देश (पण the USA, the UK), भाषा, खेळ, सर्वसाधारण जेवणे, आणि मुख्य उद्देशासाठी वापरलेले school/hospital/bed.
वेळ: at 7:15, at noon, at night; on Monday, on 15 August; in June, in 2026, in the morning, in the monsoon.
ठिकाण: at एक बिंदू (at the bus stop), on पृष्ठभाग किंवा रेषा (on the table, on the road), in बंदिस्त जागा किंवा क्षेत्र (in the room, in Pune).
ठरलेले जोडीदार: superior / inferior / senior / junior / prior / preferable to (कधीही “than” नाही); prefer A to B; comply with; abide by; consist of; depend on; different from; congratulate on; accused of; charged with; व्यक्तीवर रागावणे angry with, गोष्टीवर angry at.
यांच्यानंतर शब्दयोगी अव्यय नाही: discuss, reach, enter, attack, resemble, marry, request, order, answer. “We discussed the plan”, “She reached Pune”.

वाक्यशुद्धी आणि चूक ओळखणे

शिंप्याकडील ट्रायल: शिंपी शर्ट जसा तपासतो तसे वाक्य तपासा: दारातून एक नजर टाकून नव्हे, तर टेपने भाग-भाग मोजून.

सर्वनामाची विभक्ती: शब्दयोगी अव्ययानंतर कर्मरूप वापरा (“between you and me”); than/as नंतर उपवाक्य पूर्ण करून पाहा (“He is taller than I [am]”). one सोबत one’s वापरा: “One should keep one’s promise.”
समांतर रचना: and, or, both…and, not only…but also ने जोडलेले घटक एकाच रूपात हवेत. “She likes reading, writing and to dance” ✗ → “dancing”.
जोडशब्द: no sooner…than; hardly / scarcely…when; not only…but also; both…and; either…or; neither…nor; lest…should. Although नंतर but येत नाही (मराठीत “जरी… तरी” अशी जोडी असते, पण इंग्रजीत although सोबत but नको).
तुलना: दुहेरी तुलनादर्शक नको (more better, most cleverest); सारख्याची सारख्याशीच तुलना करा (“The climate of Pune is better than that of Mumbai”); superior/senior/prefer यांना to लागते.
अगणनीय नामांना (Uncountable nouns) अनेकवचन नसते आणि a/an लागत नाही: advice, information, furniture, luggage, equipment, scenery, machinery, news. “a piece of advice”, “much information” असे म्हणा.
पुनरुक्ती (Redundancy): “return back”, “revert back”, “repeat again”, “cousin brother” → return, revert, repeat, cousin.
क्रियाविशेषण विरुद्ध विशेषण: “He drives carefully”; पण जोडणाऱ्या क्रियापदांनंतर विशेषण: “The milk smells sour.”
लटकते विशेषण (Dangling modifier): “Walking to college, the rain started” ✗ (पाऊस चालत नव्हता) → “As I was walking to college, it started to rain.”

रिकाम्या जागा भरा आणि क्लोझ टेस्ट

सणाचे ताट वाढताना: प्रत्येक रिकामी जागा म्हणजे रिकामी वाटी: पदार्थ वाटीत बसला पाहिजे, जेवणाला शोभला पाहिजे, आणि शेजारच्या पदार्थांशी जुळला पाहिजे.

पर्याय वाचण्याआधी रिकाम्या जागेसाठी शब्दाचा अंदाज बांधा.
विरोधदर्शक संकेत (but, although, though, however, yet, despite, while) → रिकामी जागा दुसऱ्या भागाच्या विरुद्ध.
पुढे चालू / कारणदर्शक संकेत (and, also, moreover, because, since, so, therefore) → रिकामी जागा दुसऱ्या भागाशी सुसंगत.
व्याकरणाच्या खुणा: “an ___” नंतर स्वर-उच्चाराचा शब्द हवा; “to ___” नंतर सहसा मूळ क्रियापद; “the most ___” नंतर विशेषण; “has ___” नंतर क्रियापदाचे तिसरे रूप (past participle).
शब्दांच्या जोड्या: heavy rain, strong tea, commit a crime, pay attention, make an effort, make a mistake, keep a promise, catch a cold.
दिसायला सारखे शब्द पर्यायांत येतात: flout (उघडपणे नियम मोडणे) / flaunt (दिखावा करणे); adapt (जुळवून घेणे) / adopt (स्वीकारणे, दत्तक घेणे); persecute (छळ करणे) / prosecute (खटला भरणे).
दोन रिकाम्या जागा: एक सोडवा, पर्याय बाद करा, मग दुसरी तपासा. क्लोझ: आधी संपूर्ण उतारा वाचा; कथनात सगळीकडे एकच काळ ठेवा.

विस्कळीत परिच्छेद जुळवणे

शेतकऱ्याचे पेरणीचे वेळापत्रक: शेतीच्या कामांचा क्रम मोडता येत नाही: आधी नांगरणी, पावसानंतर पेरणी, रोपे उगवल्यावरच खुरपणी, आणि शेवटी काढणी.

सुरुवातीचे वाक्य: पूर्ण नामाने किंवा सर्वसाधारण विधानाने विषयाची ओळख; मागे निर्देश करणारे सर्वनाम नाही, “however / therefore / also” नाही.
He, She, It, They, This, These, Such, However, Thus, Therefore किंवा But ने सुरू होणारे वाक्य सहसा परिच्छेदाची सुरुवात करू शकत नाही.
नाम आधी, सर्वनाम नंतर: “Sanjay…” हे “He…” च्या आधी आले पाहिजे.
उपपदांचा क्रम: “a farmer” (नवा उल्लेख) आधी, “the farmer” (आधीच माहीत) नंतर.
अनिवार्य जोड्या: प्रश्न → उत्तर; दावा → “For example…”; कारण → “So / As a result…”; एखादा मुद्दा → त्याच्या विरोधात “However…”.
कालक्रम: तारखा आणि first, then, later, finally सारखे शब्द; “A decade ago” हे “Today” च्या आधी येते.
शेवटचे वाक्य बहुधा परिणाम किंवा सध्याची परिस्थिती सांगते, किंवा Thus / Hence / In short / Today ने सुरू होते.

संगणक संकल्पना

संगणकाची रचना आणि CPU

किराणा दुकानदार आणि सामानाची चिठ्ठी: पुढच्या ओळीवर बोट (PC), ओळ वाचायची (fetch), समजून घ्यायची (decode), तोलून बेरीज करायची (execute) — आणि पुन्हा तेच.

CPU = ALU + Control Unit + registers; CU हुकूम देतो, ALU हिशोब करतो
PC: पुढच्या instruction चा address; IR: आत्ता execute होत असलेली instruction
MAR: मेमरीकडे पाठवलेला address; MDR/MBR: मेमरीकडून येणारा किंवा मेमरीकडे जाणारा data
Accumulator मध्ये ALU चे निकाल राहतात; flag register मध्ये Zero, Sign, Carry, Overflow bits असतात
Fetch: MAR ← PC → MDR ← M[MAR] → IR ← MDR, PC ← PC + 1
Clock period = 1 ÷ frequency; instruction ला लागणारा वेळ = cycles × period
Von Neumann: program आणि data साठी एकच मेमरी (“von Neumann bottleneck”); Harvard: instructions आणि data साठी वेगवेगळ्या मेमरी
Control unit ची रचना: hardwired (वेगवान, ठरलेले logic) किंवा microprogrammed (control memory, बदल करणे सोपे)

Instruction ची रचना आणि Addressing Modes

मुंबईच्या डबेवाल्यांचा झाकणावरचा कोड: काम ठरलेलं (opcode); झाकणावरचा कोड सांगतो जागा कशी शोधायची (addressing mode).

Instruction = opcode + address field(s); n opcode bits → 2ⁿ क्रिया
Address साठीचे bits = instruction ची लांबी − opcode bits − register-field bits
Immediate: operand = instruction मधील किंमत (एक constant, memory access नाही)
Direct: EA = A; Indirect: EA = M[A] (एक जास्तीचा memory reference)
Register indirect: EA = (R); Indexed: EA = A + (XR); Base: EA = (BR) + A
PC-relative: EA = PC + offset, आणि PC आधीच पुढच्या instruction कडे निर्देश करत असतो
0-address instructions stack वर काम करतात (PUSH, POP, ADD) — postfix रूप

Input / Output आणि Backup साधने

तलाठी कार्यालय आणि शेतकऱ्याच्या सातबाऱ्याच्या झेरॉक्स: भरलेला अर्ज आत = input, छापलेला उतारा बाहेर = output, घरी ठेवलेली झेरॉक्स = backup.

MICR → बँकेचे चेक; OMR → वर्तुळे भरायच्या उत्तरपत्रिका; OCR → छापील मजकूर ते edit करता येणारा मजकूर; barcode reader → दुकानातील billing
Impact: dot-matrix (cps), line printer (lpm), daisy wheel; non-impact: inkjet, laser (ppm), thermal
Touch screen = input + output; plotter = मोठ्या drawings साठी output
Magnetic tape म्हणजे sequential access; hard disk, SSD आणि RAM म्हणजे direct (random) access
CD ≈ 700 MB, DVD ≈ 4.7 GB (single layer), Blu-ray ≈ 25 GB (single layer)
Incremental backups ने restore: शेवटचा full + त्यानंतरचे प्रत्येक incremental, क्रमाने
Differential backups ने restore: शेवटचा full + फक्त सर्वांत नवा differential
3-2-1 नियम: 3 प्रती, 2 प्रकारच्या माध्यमांवर, 1 प्रत दुसऱ्या ठिकाणी (off-site)

मेमरीची श्रेणीरचना आणि मांडणी

टेबलावर बसून CET चा अभ्यास: हात → टेबल → कपाट → ग्रंथालय: प्रत्येक पायरीवर मोठं, संथ आणि स्वस्त.

वेग: registers > cache > RAM > SSD > HDD > tape; दर bit मागचा खर्च याच क्रमाने कमी होतो
Cache = SRAM (refresh नाही); मुख्य मेमरी = DRAM (refresh लागतो)
PROM: एकदाच लिहिता येते; EPROM: UV ने पुसणे; EEPROM: विजेने, byte-wise; Flash: विजेने, block-wise
क्षमता = 2^{address lines} × word size; address lines = log₂(locations ची संख्या)
लागणाऱ्या chips = (एकूण words ÷ chip चे words) × (एकूण word size ÷ chip चा word size)
Hit ratio h = hits ÷ एकूण accesses
Miss झाल्यावर आधी cache पाहून मग मेमरी पाहिली तर EAT: h·T_c + (1 − h)(T_c + T_m); दोन्ही एकाच वेळी पाहिल्या तर: h·T_c + (1 − h)·T_m
1 KB = 2¹⁰ B, 1 MB = 2²⁰ B, 1 GB = 2³⁰ B, 1 TB = 2⁴⁰ B

संख्या पद्धती आणि रूपांतरे

2 च्या प्रत्येक घाताचं एकच नाणं वापरून पैसे देणे: द्विमान म्हणजे ₹1, 2, 4, 8 … ची नाणी वापरून, प्रत्येकाचं जास्तीत जास्त एकच नाणं देऊन पैसे भरणे.

किंमत = Σ अंक × r^{स्थान} (स्थाने …, 2, 1, 0, −1, −2 …)
पूर्णांक → आधारांक r: r ने भागा, बाकी खालून वर वाचा
अपूर्णांक → आधारांक r: r ने गुणा, पूर्णांक भाग वरून खाली वाचा
Binary → octal: 3 चे गट; binary → hex: 4 चे गट, point पासून बाहेरच्या दिशेने
Hex अंक: A = 10, B = 11, C = 12, D = 13, E = 14, F = 15
उपयोगी घात: 2¹⁰ = 1024, 8² = 64, 8³ = 512, 16² = 256, 16³ = 4096
आधारांक r मधील सर्वांत मोठी n-अंकी संख्या = rⁿ − 1 (8 bits → 255 = FF₁₆)

अक्षरे आणि data चे निरूपण (ASCII, Unicode, BCD, Parity)

भारतीय रेल्वेचे गाडी क्रमांक: प्रत्येक गाडीला जसा एकच गाडी क्रमांक, तसा प्रत्येक अक्षराला सगळीकडे मान्य असलेला एकच क्रमांक.

ASCII: 7 bits, 128 अक्षरे; extended ASCII: 8 bits, 256 अक्षरे
‘0’ = 48, ‘A’ = 65, ‘a’ = 97, space = 32; lowercase = uppercase + 32 (फक्त bit 5 वेगळा)
Unicode: प्रत्येक लिपीतल्या प्रत्येक अक्षरासाठी एक code point; पहिले 128 म्हणजे ASCII
UTF-8: ASCII साठी 1 byte, देवनागरीसाठी 3 bytes (उदा. अ = U+0905)
BCD: दर दशमान अंकामागे 4 bits; 1010–1111 अवैध
Excess-3 = (अंक + 3) चा BCD; Gray code: शेजारच्या संख्यांत एकच bit बदलतो
Parity विषम संख्येतील bit errors (उदा. 1) पकडतो, 2 चुकवतो, आणि दुरुस्त करू शकत नाही
n bits ने 2ⁿ वेगवेगळी अक्षरे दाखवता येतात

Binary अंकगणित, चिन्हांकित संख्या आणि Two’s Complement

0000 च्या खाली उलटा फिरणारा स्कूटरचा odometer: 0000 एकने मागे फिरवला की सर्वांत मोठी किंमत दिसते — −1 म्हणजे सगळे 1 असं होतं ते असंच.

n-bit two’s complement ची व्याप्ती: −2ⁿ⁻¹ ते +2ⁿ⁻¹ − 1 (8 bits: −128 ते +127)
n-bit sign-magnitude आणि one’s complement ची व्याप्ती: −(2ⁿ⁻¹ − 1) ते +(2ⁿ⁻¹ − 1), दोन शून्यांसह
Two’s complement = one’s complement + 1 = 2ⁿ − x
झटपट पद्धत: उजवीकडून पहिल्या 1 पर्यंत (तोही धरून) bits जसेच्या तसे लिहा, मग उरलेले उलटवा
A − B = A + (B चा two’s complement); शेवटचा carry टाकून द्या
Overflow: (+) + (+) = (−), किंवा (−) + (−) = (+); MSB मध्ये येणारा carry ≠ MSB मधून जाणारा carry
Sign extension: रुंद करताना MSB पुन्हा पुन्हा लिहा

Floating Point आणि Normalization (IEEE 754)

लाख-कोटीत लिहिलेले फ्लॅटचे भाव: थोडेच महत्त्वाचे अंक (mantissa) आणि “कोटी” सारखा एकक-शब्द (exponent).

Single: 1 sign + 8 exponent + 23 fraction = 32 bits, bias 127
Double: 1 sign + 11 exponent + 52 fraction = 64 bits, bias 1023
किंमत = (−1)^S × 1.F × 2^{E − 127} (hidden 1 साठवला जात नाही)
साठवलेला exponent = खरा exponent + 127 (म्हणून 1.0 साठी E = 127 = 01111111)
E सगळे 0 आणि F = 0 → शून्य; E सगळे 1 आणि F = 0 → अनंत; E सगळे 1 आणि F ≠ 0 → NaN
Normalizing: point च्या डावीकडे एकच 1 उरेपर्यंत point सरकवा; point डावीकडे सरकवला की exponent वाढतो
ज्यांचा छेद 2 चा घात आहे असेच अपूर्णांक अचूक (0.5, 0.25, 0.625 हो; 0.1, 0.2 नाही)

बूलियन बीजगणित, तार्किक द्वारे, सत्यता सारणी आणि K-maps

आपल्या घरातली बटणं आणि दिवे: Series मधली बटणं = AND, parallel मधली = OR, जिन्यावरचं two-way बटण = XOR.

AND: सगळे inputs 1 असतील तेव्हाच 1; OR: सगळे inputs 0 असतील तेव्हाच 0
NAND: सगळे inputs 1 असतील तेव्हाच 0; NOR: सगळे inputs 0 असतील तेव्हाच 1 — दोन्ही universal
XOR = A′B + AB′ (inputs वेगवेगळे असतील तेव्हा 1); XNOR = AB + A′B′
De Morgan: (A + B)′ = A′B′; (AB)′ = A′ + B′
शोषण नियम: A + AB = A; A(A + B) = A; A + A′B = A + B
n चल: सत्यता सारणीत 2ⁿ ओळी आणि 2^2ⁿ शक्य functions
K-map क्रम 00, 01, 11, 10; 2^k cells चा गट k चल काढून टाकतो
Venn: AND = छेद, OR = संयोग, XOR = symmetric difference

Buses, Processor–I/O संवाद आणि Interrupts

वर्गात शंका सोडवणाऱ्या बाई: प्रत्येक विद्यार्थ्याला पुन्हा पुन्हा विचारणे = polling; वर केलेला हात = interrupt; वह्या नेणारा मॉनिटर = DMA.

Address bus: एकदिशा (CPU कडून); data bus: दुदिशा; control bus: स्वतंत्र signal lines
n address lines → 2ⁿ locations; data bus ची रुंदी = दर transfer मागे bits
Programmed I/O: CPU busy-wait करतो; interrupt I/O: device signal देईपर्यंत CPU मोकळा; DMA: CPU शिवाय block हलतो
DMA bus request/grant (HOLD/HLDA) वापरतो; modes: cycle stealing आणि burst
प्रत्येक instruction cycle च्या शेवटी CPU interrupts तपासतो
Interrupt आल्यावर: instruction पूर्ण → PC + flags stack वर → ISR चालवा → स्थिती परत → पुढे सुरू
NMI बंद करता येत नाही (वीज जाणे); शून्याने भागाकार हा अंतर्गत trap/exception आहे
Daisy chain: स्थानानुसार priority — CPU च्या सर्वांत जवळचे device सर्वोच्च

Assembly विरुद्ध उच्चस्तरीय भाषा; Compiler, Interpreter, Assembler, Linker, Loader

मराठी कादंबरीचा अनुवाद विरुद्ध ग्रामसभेतला दुभाषी: Compiler = संपूर्ण पुस्तक एकदाच अनुवादित; interpreter = दर वेळी वाक्य-वाक्य अनुवाद.

1GL machine, 2GL assembly, 3GL उच्चस्तरीय (C, Java), 4GL (SQL), 5GL (Prolog, AI)
Assembly: mnemonics, machine code शी एकास-एक, machine-dependent, assembler लागतो
Compiler: संपूर्ण program एकदम, सगळे errors यादीत, object code तयार, जलद execution
Interpreter: ओळ-ओळ, पहिल्या error वर थांबतो, object code नाही, संथ execution
C build साखळी: preprocessor → compiler → assembler → linker → loader
Linker बाह्य references सोडवतो; loader मेमरी देतो आणि relocate करतो
Syntax error → compile time; function चा body नसणे → link time; शून्याने भागाकार → run time

C ची मूलतत्त्वे: Data Types, Operators, Precedence, Type Conversion, printf

गावच्या दूध संकलन केंद्रावरचे कॅन: प्रत्येक data type म्हणजे ठरलेल्या मापाचं भांडं; लहान भांड्यात ओतलं की दूध सांडतं.

वेगळं सांगितलं नसेल तर char 1, short 2, int 4, float 4, double 8 bytes गृहीत धरा
7 / 2 = 3; 7 % 2 = 1; -7 / 2 = −3; -7 % 2 = −1 (डाव्या operand चं चिन्ह)
Precedence: unary > * / % > + − > << >> > relational > == != > & > ^ > | > && > || > ?: > = > ,
उजवीकडून डावीकडे गटबद्धता: unary operators, ?:, assignment (a = b = 5)
Short-circuit: a && b मध्ये a 0 असेल तर b वगळला जातो; a || b मध्ये a शून्येतर असेल तर b वगळला जातो
x << n = x × 2ⁿ; x >> n = x ÷ 2ⁿ (ऋण नसलेल्या x साठी)
Promotion: char → int → long → float → double; cast फक्त लगेच नंतरच्या operand वर लागू होतो
printf: %d %u %f %c %s %x %o %e %p %%; %.2f = 2 दशांश स्थळे; %5d = रुंदी 5

C मधील Control Flow आणि Loops (Output ओळखणे)

आपल्या मार्गावर धावणारी PMPML बस: प्रत्येक थांबा म्हणजे loop ची एक फेरी; रिकामा थांबा = continue; बस बंद पडणे = break; पुढे प्रवास करत राहणारा प्रवासी = switch fall-through.

शून्येतर = सत्य, 0 = असत्य; if (x = 0) assign करतो आणि नेहमी असत्य असतो
else सर्वांत जवळच्या जोडी न लागलेल्या if शी जोडला जातो
switch: फक्त integer/char; break पर्यंत fall through; case labels constants च असावे लागतात
for/while: आधी तपासणी (0 किंवा जास्त फेऱ्या); do-while: शेवटी तपासणी (कमीत कमी 1 फेरी)
continue → पुढची फेरी (for loop मध्ये आधी update चालतो); break → सर्वांत आतल्या loop/switch मधून बाहेर
i = 1..n आणि j = i..n असलेले nested loops n(n + 1)/2 वेळा चालतात
for (i = 0; i < 5; i++); — semicolon म्हणजे रिकामा body; शेवटी i = 5

C मधील Arrays, Strings, Pointers आणि Functions (Recursion, Call by Value/Reference)

मुंबईच्या चाळीतल्या खोल्या: Array म्हणजे एकसारख्या खोल्यांची रांग; pointer म्हणजे खोली क्रमांक लिहिलेली चिठ्ठी.

a[i] ≡ *(a + i) ≡ i[a]; a[i] चा address = base + i × sizeof(element)
2-D array (row-major): a[i][j] चा address = base + (i × columns + j) × size
char s[] = "CET"; → sizeof 4 ('\0' धरून), strlen 3
& = चा address; * = वरची किंमत; p + 1 एक element पुढे
C by value पाठवते; caller चे variables बदलायचे असतील तर addresses (pointers) पाठवा
Arrays pointers म्हणून पाठवले जातात, म्हणून function मध्ये केलेले बदल बाहेरही दिसतात
Recursion: base case + लहान उप-प्रश्न; recursive call नंतरचा code उलट्या क्रमाने चालतो
Static local variable एकदाच initialize होतो आणि calls दरम्यान आपली किंमत टिकवतो

कार्यप्रणालीची मूलतत्त्वे: Processes, CPU Scheduling, Paging, Deadlock, File Systems

कॉलेजजवळचं एका मशीनचं झेरॉक्स दुकान: एक झेरॉक्स मशीन, अनेक विद्यार्थी: पुढे कोणाचं काम करायचं, हेच CPU scheduling.

TAT = completion time − arrival time; WT = TAT − burst time
FCFS: non-preemptive, convoy effect; SJF: किमान सरासरी WT, लांब कामं starve होऊ शकतात
SRTF = preemptive SJF; priority scheduling मधील starvation aging ने दूर होते
Round Robin: time quantum सह preemptive; quantum खूप मोठा ठेवला तर तो FCFS सारखा वागतो
Process अवस्था: new, ready, running, waiting, terminated; PCB मध्ये प्रत्येक process चा तपशील असतो
Paging: page size = frame size; page-table entries = 2^{logical address bits} ÷ page size
Deadlock च्या अटी: mutual exclusion, hold and wait, no preemption, circular wait (चारही लागतात)
FIFO page replacement Belady’s anomaly दाखवू शकतो (frames जास्त, तरीही faults जास्त)

संगणक जागरूकता: Internet, Email, Web आणि Software

पुण्यातून गावी लग्नपत्रिका पोस्टाने पाठवणे: रस्ते म्हणजे internet, पत्र म्हणजे email, नाव@गाव म्हणजे username@domain, आणि पोस्टमन म्हणजे DNS.

Internet = जाळ्यांचं जाळं (TCP/IP); WWW = त्यावरची web pages, Tim Berners-Lee (1989) यांचा शोध; email आणि FTP या internet च्या इतर सेवा
URL = protocol://domain/path, उदा. https://www.mahacet.org/exams/mca.html; HTTP port 80, HTTPS = HTTP + SSL/TLS, port 443
HTML ही tags ची markup भाषा आहे, programming भाषा नाही; कोणत्याही OS वरचा कोणताही browser HTML page दाखवू शकतो
Email address = user name @ domain name; SMTP पाठवतो, POP3 एका device वर download करतो, IMAP mail server वर ठेवतो; CC दिसतं, BCC लपलेलं
Software: system (OS, drivers, translators) · application (Word, Excel, browser) · utility (antivirus, compression, backup); firmware ROM मध्ये असतं
PAN < LAN < MAN < WAN; IPv4 = 32 bits (0–255 मधले चार आकडे), IPv6 = 128 bits; DNS: नाव → IP; modem: digital ↔ analog; router: networks जोडतो
Virus ला host file लागते, worm स्वतःहून पसरतो, Trojan उपयोगी दिसणाऱ्या software मध्ये लपतो; firewall वाहतूक गाळतं; phishing = passwords/OTP साठी गळ टाकणारा बनावट संदेश
आकाराचा क्रम micro < mini < mainframe < super; पिढ्या: vacuum tube → transistor → IC → microprocessor (VLSI) → AI (ULSI)