तार्किक / अमूर्त तर्कशक्ती

तर्कशक्ती · विश्लेषणात्मक कोडी · विषय 1 / 14

संख्या मालिका

Number Series

पूर्ण झाले म्हणून खूण करा

असं समजा…

गल्ल्यातली बचत

समजा, तुम्ही रोज संध्याकाळी मातीच्या गल्ल्यात नाणी टाकता आणि वहीत एकूण रक्कम लिहून ठेवता: ₹3, ₹8, ₹15, ₹24, ₹35. फक्त एकूण रकमा बघितल्या तर नियम लगेच लक्षात येत नाही. पण “रोज मी किती टाकले?” असे विचारले की लगेच दिसते — ₹5, ₹7, ₹9, ₹11. म्हणजे रोज आदल्या दिवसापेक्षा ₹2 जास्त टाकले जातात. मग उद्या ₹13 टाकले जातील आणि गल्ल्यात ₹48 होतील. एखाद्या महिन्यात आई दर रविवारी गल्ल्यातली रक्कम दुप्पट करून देते; तेव्हा रक्कम बेरजेने नाही, तर गुणाकाराने वाढते. आणि तुम्ही व तुमची बहीण एक दिवसाआड दोन वेगळे गल्ले भरत असाल, तर वहीत दोन वेगवेगळ्या याद्या एकमेकांत मिसळतात. संख्या मालिकेचा प्रश्न म्हणजे नेमकी हीच वही: प्रत्येक पायरीला किती मिळवले (किंवा कशाने गुणले) ते शोधा, की पुढची रक्कम आपोआप लिहिता येते.

रोजच्या जीवनात	परीक्षेच्या विषयात
रोज संध्याकाळी गल्ल्यातली एकूण रक्कम	मालिकेचे पद (Term)
रोज टाकलेली रक्कम	पहिला फरक (First difference) = पुढचे पद − हे पद
“कालपेक्षा आज ₹2 जास्त टाकतो”	दुसरा फरक (Second difference) स्थिर
आई दर रविवारी बचत दुप्पट करते	गुणाकार / गुणोत्तर (Ratio) नियम (×2, ×2 + 1 …)
तुम्ही व बहीण एक दिवसाआड लिहिता	पर्यायी मालिका (Alternating series): दोन मालिका एकत्र गुंफलेल्या

संकल्पना

संख्या मालिका (Number Series) म्हणजे एका लपलेल्या नियमाने तयार केलेली संख्यांची यादी. तो नियम शोधून पुढचे पद काढणे (किंवा नियम मोडणारे पद पकडणे) हे तुमचे काम. सुरुवात नेहमी शेजारच्या पदांमधील फरक मालिकेखाली लिहून करा. फरक सारखे असतील, तर ती अंकगणिती श्रेढी (Arithmetic series) आहे. फरकच ठरावीक प्रमाणात बदलत असतील, तर दुसरे फरक पाहा.

फरक खूप झपाट्याने (साधारण दुप्पट-तिप्पट) वाढत असतील, तर त्याऐवजी गुणोत्तर तपासा: ×2, ×3, किंवा ×2 + 1, ×3 − 2 असे मिश्र नियम. पदे ओळखीच्या संख्यांच्या जवळपास असतील, तर त्यांची तुलना वर्गांशी (1, 4, 9, 16, 25 …) आणि घनांशी (1, 8, 27, 64, 125 …) करा: बऱ्याच मालिका n² ± 1, n³ + n किंवा n(n + 1) अशा असतात.

काहीच जुळत नसेल, तर विषम आणि सम स्थानांवरची पदे वेगळी करा. बहुतेक वेळा दोन साध्या मालिका एकमेकांत गुंफलेल्या असतात (पर्यायी मालिका). “चुकीची संख्या ओळखा” प्रकारात बहुसंख्य पदांवरून नियम ठरवा आणि मग प्रत्येक पद एकेक करून त्या नियमाशी पडताळा.

महत्त्वाचे मुद्दे व सूत्रे

पायऱ्यांचा क्रम: फरक → दुसरे फरक → गुणोत्तर → वर्ग/घन → आलटून-पालटून स्थाने
फरक सारखे: अंकगणिती श्रेढी (a, a + d, a + 2d …)
फरक 2, 4, 6, 8 … किंवा 5, 7, 9, 11 …: दुसरा फरक स्थिर
झपाट्याने वाढ: ×k, ×k + c, ×k − c तपासा (उदा. 5, 11, 23, 47 म्हणजे ×2 + 1)
30² पर्यंतचे वर्ग आणि 15³ पर्यंतचे घन तोंडपाठ ठेवा
n(n + 1): 2, 6, 12, 20, 30 …; n² − 1: 3, 8, 15, 24 …; n³ + n: 2, 10, 30, 68 …
लांब (7–8 पदांची) आणि वर-खाली होणारी मालिका: विषम व सम स्थाने वेगळी तपासा
चुकीची संख्या शोधताना: चुकीच्या पदामुळे सहसा लागोपाठचे दोन फरक विचित्र दिसतात

सोडवलेले उदाहरण

पुढचे पद शोधा: 3, 8, 15, 24, 35, ?

उकल पाहा

पहिले फरक: 8 − 3 = 5, 15 − 8 = 7, 24 − 15 = 9, 35 − 24 = 11.
फरक 5, 7, 9, 11 प्रत्येक वेळी 2 ने वाढतात, म्हणून पुढचा फरक 13.
पुढचे पद = 35 + 13 = 48.
वर्गांनी पडताळा: पदे 2² − 1, 3² − 1, 4² − 1, 5² − 1, 6² − 1 आहेत, म्हणून पुढचे 7² − 1 = 48. दोन्ही पद्धतींचे उत्तर एकच.

उत्तर: 48

परीक्षेसाठी झटपट युक्ती

आधी शेवटचे अंक आणि पदांच्या आकारातली उडी बघा. प्रत्येक पद साधारण दुप्पट होत असेल, तर फरकांचा तक्ता न करता थेट ×2 ± काहीतरी तपासा. पदे वर्गांच्या किंवा घनांच्या अगदी वर-खाली असतील, तर इतर काहीही करण्याआधी n² ± 1 किंवा n³ ± n तपासा.

नेहमीच्या चुका

फक्त दोन पदे तपासून थांबणे. नियम पहिल्या फरकालाच नव्हे, तर मालिकेतील प्रत्येक फरकाला लागू व्हायला हवा.
पर्यायी मालिका न ओळखणे: फरक वर-खाली उड्या मारत असतील (उदा. +3, +1, +6, +2), तर मालिकेचे दोन भाग करा.

सराव · प्रश्न परीक्षेप्रमाणे इंग्रजीत, खाली मराठी अर्थ · उत्तर तपासण्यासाठी पर्याय निवडा

Q1. Find the next term: 5, 11, 23, 47, 95, ?

पुढचे पद शोधा: 5, 11, 23, 47, 95, ?

Q2. Find the next term: 2, 10, 30, 68, 130, ?

पुढचे पद शोधा: 2, 10, 30, 68, 130, ?

Q3. Find the next term: 4, 7, 8, 14, 16, 21, 32, ?

पुढचे पद शोधा: 4, 7, 8, 14, 16, 21, 32, ?

Q4. Find the wrong number in the series: 3, 5, 9, 17, 33, 66, 129

मालिकेतील चुकीची संख्या ओळखा: 3, 5, 9, 17, 33, 66, 129

↑ विषयसूचीकडे परत

तर्कशक्ती · विश्लेषणात्मक कोडी · विषय 2 / 14

अक्षर मालिका व अक्षर-अंक मालिका

Letter & Alphanumeric Series

पूर्ण झाले म्हणून खूण करा

असं समजा…

सोसायटीतील गोल गल्लीतले बंगले

एका सोसायटीची कल्पना करा. तिथल्या गल्लीत बरोबर 26 बंगले आहेत, त्यांना 1 ते 26 क्रमांक दिले आहेत, आणि गल्ली गोल फिरते — 26 नंबरच्या बंगल्यानंतर तुम्ही परत 1 नंबरला पोहोचता. आता या बंगल्यांना A ते Z अशी नावे द्या. मग “W च्या 3 अक्षरे पुढे जा” म्हणजे फक्त “23 नंबरच्या घरापासून 3 घरे पुढे चाला”: 24, 25, 26 — म्हणजे Z. अजून एक घर पुढे गेलात की 1 नंबरचे घर, म्हणजे A, कारण गल्ली गोल आहे. बागेच्या पलीकडे 1 नंबरच्या (A) समोर 26 नंबरचा (Z) बंगला आहे, B च्या समोर Y, असेच पुढे: समोरासमोरच्या प्रत्येक जोडीची बेरीज 27 येते. एकदा अक्षरांचा विचार घर क्रमांकात करायला लागलात, की अक्षर मालिका म्हणजे तुम्हाला आधीच सोडवता येणारी संख्या मालिकाच बनते.

रोजच्या जीवनात	परीक्षेच्या विषयात
गल्लीतला बंगल्याचा क्रमांक	अक्षराचे स्थान (A = 1 … Z = 26)
k घरे पुढे चालणे	k अक्षरे पुढे जाणे (+k)
26 नंतर गल्ली पुन्हा 1 नंबरला येते	Z नंतर पुन्हा A (26 वजा करा)
बागेपलीकडे तुमच्या घरासमोरचे घर	विरुद्ध अक्षर (Opposite letter): स्थानांची बेरीज 27 (A–Z, B–Y …)

संकल्पना

अक्षर मालिका (Letter Series) सोडवताना प्रत्येक अक्षराचे स्थान-क्रमांकात रूपांतर करा (A = 1, B = 2 … Z = 26), संख्यांचा नियम शोधा आणि उत्तर परत अक्षरात बदला. स्थान पटकन काढण्यासाठी EJOTY = 5, 10, 15, 20, 25 लक्षात ठेवा. बाकी प्रत्येक अक्षर या खुणांपासून एक-दोन पावलांवर असते: R हे T च्या 2 मागे, म्हणून R = 18.

उलट्या बाजूचे स्थान काढण्यासाठी 27 − स्थान वापरा: उजवीकडून (Z च्या टोकाकडून) 10 वे अक्षर = 27 − 10 = 17 = Q. कोणत्याही अक्षराचे विरुद्ध अक्षरही 27 − स्थान असते (G = 7 ↔ 27 − 7 = 20 = T). मोजणी 26 च्या पुढे गेली तर 26 वजा करा; 1 च्या खाली गेली तर 26 मिळवा.

अक्षरगट मालिकेत (AZ, CX, EV …) गटातील प्रत्येक जागा ही स्वतंत्र मालिका समजा. अक्षर-अंक मालिकेत (Alphanumeric series — अक्षरे, अंक आणि चिन्हे यांची मिश्र रांग) प्रश्न अगदी काळजीपूर्वक वाचा: “लगेच आधी असलेले” (immediately preceded by) म्हणजे अगदी आधीचा घटक, आणि “लगेच नंतर असलेले” (immediately followed by) म्हणजे अगदी नंतरचा घटक. सावकाश मोजा आणि प्रत्येक जुळणारा घटक कागदावर खूण करून ठेवा.

महत्त्वाचे मुद्दे व सूत्रे

EJOTY: E = 5, J = 10, O = 15, T = 20, Y = 25
उजव्या टोकाकडून स्थान = 27 − डावीकडून स्थान
विरुद्ध जोड्यांची बेरीज 27: A–Z, B–Y, C–X, D–W, E–V, F–U, G–T, H–S, I–R, J–Q, K–P, L–O, M–N
Z च्या पुढे गेलात तर 26 वजा करा; A च्या मागे गेलात तर 26 मिळवा
“X च्या डावीकडे k वे” = X चे स्थान − k; “उजवीकडे k वे” = स्थान + k
अक्षरगट: पहिली अक्षरे, दुसरी अक्षरे (आणि अंक) स्वतंत्र मालिका म्हणून सोडवा
स्वर A, E, I, O, U ची स्थाने 1, 5, 9, 15, 21

सोडवलेले उदाहरण

पुढचे अक्षर शोधा: B, E, I, N, ?

उकल पाहा

स्थानांत रूपांतर करा: B = 2, E = 5, I = 9, N = 14.
फरक: +3, +4, +5. पुढचा फरक +6.
14 + 6 = 20.
स्थान 20 = T (EJOTY वरून).

उत्तर: T

परीक्षेसाठी झटपट युक्ती

A पासून कधीच बोटांवर मोजत बसू नका. जवळच्या EJOTY खुणेवर उडी मारा आणि एक-दोन पावले मोजा: 22 वे अक्षर हवे असेल, तर T (20) पासून सुरू करा आणि U (21), V (22) असे पुढे जा.

नेहमीच्या चुका

“डावीकडून” आणि “उजवीकडून” यांत गोंधळ. उजवीकडून 10 वे अक्षर Q (27 − 10) आहे, J नाही.
अक्षर-अंक मालिकेत #, @, $ सारखी चिन्हे ना अक्षरे असतात ना अंक — त्यांना दोन्हीपैकी कशातही मोजू नका.

सराव · प्रश्न परीक्षेप्रमाणे इंग्रजीत, खाली मराठी अर्थ · उत्तर तपासण्यासाठी पर्याय निवडा

Q1. Find the next term: AZ, CX, EV, GT, ?

पुढचे पद शोधा: AZ, CX, EV, GT, ?

Q2. Find the next letter: Z, W, S, N, ?

पुढचे अक्षर शोधा: Z, W, S, N, ?

Q3. In the arrangement M 4 # K 7 R @ 2 E 9 $ B 5 T, how many letters are immediately preceded by a number?

M 4 # K 7 R @ 2 E 9 $ B 5 T या रचनेत अशी किती अक्षरे आहेत ज्यांच्या लगेच आधी एखादा अंक आहे?

Q4. In the English alphabet, which letter is 6th to the left of the 10th letter from the right end?

इंग्रजी वर्णमालेत उजव्या टोकाकडून 10 व्या अक्षराच्या डावीकडे 6 वे अक्षर कोणते?

↑ विषयसूचीकडे परत

तर्कशक्ती · तार्किक निष्कर्ष · विषय 3 / 14

सांकेतिक भाषा

Coding–Decoding

पूर्ण झाले म्हणून खूण करा

असं समजा…

मुंबईच्या डबेवाल्यांचा डब्यावरचा कोड

मुंबईचे डबेवाले रोज लाखो जेवणाचे डबे पोहोचवतात — प्रत्येक डब्याच्या झाकणावर रंगवलेली काही अक्षरे, आकडे आणि रंग एवढ्याच खुणांवर. नवीन डबेवाला प्रत्येक डबा पाठ करत नाही. तो नियम शिकतो: ही खूण म्हणजे सुरुवातीचे स्टेशन, ती खूण म्हणजे इमारत, हा आकडा म्हणजे मजला. ओळखीच्या काही डब्यांवरून एकदा नियम उलगडला, की तो कोणताही नवा डबा वाचू शकतो. आणि दोन डबे दोन्ही चर्चगेटला जात असतील, तर दोघांवर जी खूण समान आहे, ती चर्चगेटचीच खूण असली पाहिजे. सांकेतिक भाषेचे प्रश्न अगदी असेच असतात: एक-दोन सांकेतिक उदाहरणे दिलेली असतात, त्यांची तुलना करून तुम्ही नियम शोधता, आणि मग तोच नियम नव्या शब्दाला लावता.

रोजच्या जीवनात	परीक्षेच्या विषयात
डब्याच्या झाकणावर रंगवलेला कोड	सांकेतिक शब्द किंवा वाक्य
सगळे डबेवाले पाळतात तो एकच नियम	सांकेतिक नियम (अक्षरे पुढे-मागे सरकवणे, उलटे लिहिणे, विरुद्ध अक्षर, संख्या-किंमत)
एकाच स्टेशनला जाणाऱ्या दोन डब्यांवरची समान खूण	दोन वाक्यांत समान असलेल्या शब्दाला दोन्ही सांकेतिक रूपांत समान असलेला कोड
नवा डबेवाला नवा डबा वाचतो	शोधलेला नियम प्रश्नात विचारलेल्या शब्दाला लावणे

संकल्पना

अक्षर सांकेतिक भाषा (Letter coding): मूळ शब्दाच्या अक्षरांची स्थाने सांकेतिक शब्दाच्या वर लिहा आणि अक्षरा-अक्षराने काय बदलले ते शोधा. नेहमीचे नियम: प्रत्येक अक्षर ठरावीक अंतराने सरकवलेले (+1, −2), वाढत जाणारे अंतर (+1, +2, +3 …), शब्द उलटा लिहिलेला, किंवा प्रत्येक अक्षराऐवजी त्याचे विरुद्ध अक्षर (स्थानांची बेरीज 27).

संख्या सांकेतिक भाषा (Number coding): कोड बहुतेक वेळा अक्षरांच्या स्थानांची बेरीज, अक्षरांची संख्या × काहीतरी, किंवा प्रत्येक अक्षराऐवजी त्याचे स्थान असा असतो. सर्वात सोपी कल्पना (स्थानांची बेरीज) आधी तपासा.

वाक्य (शब्द) सांकेतिक भाषा: एका वेळी दोन वाक्यांची तुलना करा. दोन्ही वाक्यांत समान असलेल्या शब्दाचा कोड दोन्ही सांकेतिक रूपांत समान असलेलाच असला पाहिजे. विचारलेला शब्द उरेपर्यंत एकेक करून शब्द बाद करा. प्रतिस्थापन (Substitution) प्रकार (“आकाशाला समुद्र म्हणतात …”) हा भाषेचा सापळा आहे: आधी खऱ्या जगातील प्रश्नाचे उत्तर द्या, मग त्या खऱ्या उत्तराऐवजी त्याचे सांकेतिक नाव लिहा.

महत्त्वाचे मुद्दे व सूत्रे

स्थाने नेहमी वर आणि खाली लिहा: अक्षरा-अक्षराने तुलना करा
आधी स्थिर अंतराने सरकवणे तपासा, मग उलटा शब्द, मग विरुद्ध अक्षरे (बेरीज 27)
विरुद्ध अक्षर कोड: GIRL → TRIO, कारण G↔T, I↔R, R↔I, L↔O
संख्या कोड: आधी स्थानांची बेरीज, मग गुणाकार, मग अक्षरांची संख्या तपासा
वाक्य कोड: समान शब्द ↔ समान कोड; वाक्यांच्या जोड्या वापरा
प्रतिस्थापन: आधी खऱ्या प्रश्नाचे उत्तर, मग त्याचे सांकेतिक नाव
कोड शब्दापेक्षा लहान किंवा मोठा असेल, तर अक्षरे गाळली, वाढवली किंवा गटात बांधली गेली आहेत

सोडवलेले उदाहरण

एका सांकेतिक भाषेत “pit na sa” म्हणजे “you are good”, “na ka da” म्हणजे “they are bad”, आणि “sa ri ka” म्हणजे “good and bad”. तर “they” साठी कोड कोणता?

उकल पाहा

वाक्य 1 आणि 2 मध्ये “are” हा शब्द आणि “na” हा कोड समान आहे. म्हणून are = na.
वाक्य 1 आणि 3 मध्ये “good” आणि “sa” समान आहेत. म्हणून good = sa.
वाक्य 2 आणि 3 मध्ये “bad” आणि “ka” समान आहेत. म्हणून bad = ka.
वाक्य 2 म्हणजे “na ka da” = “they are bad”. are = na आणि bad = ka असल्याने उरलेला एकमेव कोड “da”.

उत्तर: they = da

परीक्षेसाठी झटपट युक्ती

अक्षरे सरकवणाऱ्या कोडमध्ये फक्त पहिले आणि शेवटचे अक्षर तपासा. दोन्ही सारख्याच अंतराने सरकले असतील, तर बाकीचेही जवळजवळ नेहमी तसेच असतात — मग ज्या पर्यायाचे पहिले व शेवटचे अक्षर जुळते तो निवडा, आणि मधले एक अक्षर पडताळून बघा.

नेहमीच्या चुका

प्रतिस्थापनाच्या प्रश्नांत विद्यार्थी त्याच्या सांकेतिक नावाऐवजी खरा शब्द (“water”) लिहितात. साखळी पुन्हा वाचा आणि त्याला जे नाव “म्हणतात” ते लिहा.
कोडांचा क्रम शब्दांच्या क्रमाप्रमाणेच आहे असे गृहीत धरणे. वाक्य कोडमध्ये कोड उलटसुलट असू शकतात; फक्त समान शब्द आणि समान कोड महत्त्वाचे.

सराव · प्रश्न परीक्षेप्रमाणे इंग्रजीत, खाली मराठी अर्थ · उत्तर तपासण्यासाठी पर्याय निवडा

Q1. If PAPER is coded as QBQFS, how is PENCIL coded in the same language?

जर PAPER हा शब्द QBQFS असा लिहिला, तर त्याच भाषेत PENCIL कसा लिहिला जाईल?

Q2. If GIRL is coded as TRIO, how is BOY coded?

जर GIRL हा शब्द TRIO असा लिहिला, तर BOY कसा लिहिला जाईल?

Q3. If CAT = 24, then DOG = ?

जर CAT = 24, तर DOG = ?

Q4. If “sky” is called “sea”, “sea” is called “water”, “water” is called “air”, and “air” is called “cloud”, then where do fish live?

जर “sky” (आकाश) ला “sea” (समुद्र) म्हणतात, “sea” ला “water” (पाणी) म्हणतात, “water” ला “air” (हवा) म्हणतात, आणि “air” ला “cloud” (ढग) म्हणतात, तर मासे कुठे राहतात?

↑ विषयसूचीकडे परत

तर्कशक्ती · तार्किक निष्कर्ष · विषय 4 / 14

नातेसंबंध

Blood Relations

पूर्ण झाले म्हणून खूण करा

असं समजा…

लग्नातला कुटुंबाचा फोटो

आपल्याकडच्या लग्नात फोटोग्राफर हाक मारतो, “सगळी फॅमिली, एकत्र या!” आणि मोठ्या फोटोसाठी अख्खे कुटुंब रचतो. आजी-आजोबा पुढे मध्यभागी खुर्चीवर बसतात, त्यांचे मुलगे-मुली आपापल्या जोडीदारांसह मागच्या रांगेत उभे राहतात, आणि नातवंडे पुढे खाली बसतात. नवरा-बायको नेहमी शेजारी-शेजारी, आणि मुले आपल्या आई-वडिलांच्या खाली. हा फोटो हातात असला, की “ती त्याची कोण?” या प्रश्नाचे उत्तर एका नजरेत देता येते — हळदीच्या दिवशी कोण काय म्हणाले ते आठवत बसावे लागत नाही. नातेसंबंधाचा प्रश्न म्हणजे ओळखींची एक यादी; उत्तर देण्याआधी तो फोटो कागदावर काढणे हे तुमचे काम.

रोजच्या जीवनात	परीक्षेच्या विषयात
लग्नाच्या फोटोतल्या रांगा (आजी-आजोबा, आई-वडील, मुले)	पिढ्या (Generations): प्रत्येक पिढी वेगळ्या पातळीवर काढा
शेजारी-शेजारी उभे जोडपे	नवरा-बायकोसाठी आडवी दुहेरी रेषा (=)
आई-वडिलांच्या खाली उभी मुले	पालकापासून मुलापर्यंत उभी रेषा
पुरुष कुर्त्यात, स्त्रिया साडीत	प्रत्येक नावाशेजारी पुरुषासाठी +, स्त्रीसाठी −
पूर्ण झालेला फोटो बघून उत्तर देणे	नाते आठवणीतून नव्हे, तर कुटुंबवृक्षावरून वाचणे

संकल्पना

नातेसंबंधाच्या (Blood Relations) प्रत्येक प्रश्नासाठी कुटुंबवृक्ष (Family tree) काढा. लिंग कळताच प्रत्येक व्यक्तीपुढे + (पुरुष) किंवा − (स्त्री) लिहा. एकाच पिढीतील लोक एकाच पातळीवर ठेवा. नवरा-बायकोला आडव्या दुहेरी रेषेने (=), भावंडांना आडव्या एकेरी रेषेने जोडा, आणि पालकापासून मुलापर्यंत उभी रेषा काढा.

“फोटोकडे बोट दाखवून” अशा विधानांत वाक्य शेवटापासून तोडा. “ती माझ्या वडिलांच्या वडिलांच्या एकुलत्या एका मुलाची मुलगी आहे” यात आधी “माझ्या वडिलांच्या वडिलांचा एकुलता एक मुलगा” (= माझे वडील) उलगडा, मग “माझ्या वडिलांची मुलगी” (= माझी बहीण). पुढे जाण्याआधी प्रत्येक शब्दसमूहाच्या जागी एकच व्यक्ती लिहा.

सांकेतिक नात्यांत (P + Q म्हणजे P हा Q चा वडील, इत्यादी) प्रत्येक चिन्हाचे कुटुंबवृक्षावरील रेषेत भाषांतर करा, डावीकडून उजवीकडे एकेक चिन्ह. एखादा शब्द (भाऊ, पत्नी, मुलगा) किंवा चिन्ह सांगत नाही तोपर्यंत कोणाचेही लिंग गृहीत धरू नका.

महत्त्वाचे मुद्दे व सूत्रे

चिन्हे: + पुरुष, − स्त्री, = विवाहित जोडपे, | पालक ते मूल, — भावंडे
एकाच पिढीचे लोक एकाच आडव्या पातळीवर
वडिलांचा किंवा आईचा भाऊ = काका/मामा (uncle); त्यांची बहीण = आत्या/मावशी (aunt); त्यांची मुले = चुलत/मावस/आते/मामे भावंडे (cousins)
मुलाची बायको = सून (daughter-in-law); मुलीचा नवरा = जावई (son-in-law)
बायकोचा किंवा नवऱ्याचा भाऊ = मेहुणा/दीर (brother-in-law); बहिणीचा नवरा = मेहुणा/भावोजी (brother-in-law)
“माझ्या वडिलांच्या वडिलांचा एकुलता एक मुलगा” = माझे वडील; “माझ्या आईची एकुलती एक मुलगी” = मी (मी स्त्री असल्यास)
सांगितल्याशिवाय लिंग अज्ञात — “A हे B चे अपत्य आहे” यावरून A चे लिंग कळत नाही
लांबलचक “बोट दाखवून” वाक्ये शेवटाकडून मागे उलगडा

सोडवलेले उदाहरण

एका फोटोकडे बोट दाखवून रवी म्हणतो, “ती माझ्या वडिलांच्या वडिलांच्या एकुलत्या एका मुलाची मुलगी आहे.” फोटोतील मुलगी रवीची कोण?

उकल पाहा

शेवटापासून सुरुवात: “माझ्या वडिलांचे वडील” = रवीचे आजोबा (वडिलांचे वडील).
“माझ्या वडिलांच्या वडिलांचा एकुलता एक मुलगा” = रवीचे वडील (आजोबांना एकच मुलगा आहे, आणि रवीचे वडील त्यांचा मुलगा आहेत, म्हणून तेच).
“माझ्या वडिलांची मुलगी” = रवीच्या वडिलांची एक मुलगी.
रवी पुरुष आहे, म्हणून रवीच्या वडिलांची मुलगी म्हणजे रवी स्वतः नव्हे — ती रवीची बहीण आहे.

उत्तर: ती रवीची बहीण आहे.

परीक्षेसाठी झटपट युक्ती

“बोट दाखवून” प्रश्नांत प्रत्येक शब्दसमूह खोडा आणि त्याच्यावर एकच नाते लिहा: “वडिलांच्या वडिलांचा एकुलता एक मुलगा” → वडील, “वडिलांची मुलगी” → बहीण. तीन शब्दसमूह साधारण दहा सेकंदांत एका शब्दावर येतात.

नेहमीच्या चुका

नावावरून किंवा “अपत्य” सारख्या शब्दावरून लिंग गृहीत धरणे. “B ही C ची बहीण आहे” यावरून B स्त्री आहे हे कळते, पण C बद्दल काहीच कळत नाही.
“A हा B चा भाऊ आहे” आणि “B हा A चा भाऊ आहे” ही एकच माहिती नाही — दुसऱ्या वाक्यावरून B पुरुष आहे हेही कळते.

सराव · प्रश्न परीक्षेप्रमाणे इंग्रजीत, खाली मराठी अर्थ · उत्तर तपासण्यासाठी पर्याय निवडा

Q1. A is the brother of B. B is the sister of C. C is the father of D. How is A related to D?

A हा B चा भाऊ आहे. B ही C ची बहीण आहे. C हा D चा वडील आहे. तर A हा D चा कोण?

Q2. Pointing to a man, Neha says, “His mother is the only daughter of my mother.” How is Neha related to the man?

एका पुरुषाकडे बोट दाखवून नेहा म्हणते, “याची आई माझ्या आईची एकुलती एक मुलगी आहे.” तर नेहा त्या पुरुषाची कोण?

Q3. P + Q means P is the father of Q; P − Q means P is the wife of Q; P × Q means P is the brother of Q. If A + B × C − D, how is D related to A?

P + Q म्हणजे P हा Q चा वडील; P − Q म्हणजे P ही Q ची पत्नी; P × Q म्हणजे P हा Q चा भाऊ. जर A + B × C − D, तर D हा A चा कोण?

Q4. M is the son of N. N is the daughter of O. O is the husband of P. How is P related to M?

M हा N चा मुलगा आहे. N ही O ची मुलगी आहे. O हा P चा नवरा आहे. तर P ही M ची कोण?

↑ विषयसूचीकडे परत

तर्कशक्ती · विश्लेषणात्मक कोडी · विषय 5 / 14

दिशा

Direction Sense

पूर्ण झाले म्हणून खूण करा

असं समजा…

एसटी स्टँडपासून गावातल्या घरापर्यंतचा रस्ता

शहरातला एक मित्र तुमच्या गावात एसटीतून उतरतो आणि तुम्हाला फोन करतो. तुम्ही सांगता: “सरळ हनुमानाच्या देवळाकडे चाल, साधारण 4 किमी. देवळाजवळ उजवीकडे वळ आणि 3 किमी विहिरीपर्यंत जा. आमचे घर तिथेच आहे.” मित्राने हे कागदावर काढले — बस स्टँड म्हणजे एक ठिपका, देवळाकडे एक बाण, मग उजवे वळण — तर रस्त्याने तो 7 किमी चालला असला, तरी स्टँडपासून तुमचे घर सरळ रेषेत किती दूर आहे ते त्याला सांगता येते. त्याला हेही माहीत असते की सकाळी सूर्य देवळाच्या मागून (पूर्वेकडून) उगवतो, म्हणून सावल्या उलट्या बाजूला पडतात. दिशेचे प्रश्न म्हणजे नेमके हेच रेखाचित्र: एक सुरुवातीचा बिंदू, सरळ रस्ते, वळणे, आणि शेवटी सरळ रेषेतले अंतर.

रोजच्या जीवनात	परीक्षेच्या विषयात
मित्र उतरतो तो एसटी बस स्टँड	सुरुवातीचा बिंदू, आरंभबिंदू (0, 0)
“देवळाजवळ उजवीकडे वळ”	सध्याच्या दिशेपासून घड्याळाच्या काट्यांच्या दिशेने 90° वळणे
सकाळी सूर्य देवळामागून उगवतो	पूर्व हा संदर्भ: सकाळी सावल्या पश्चिमेकडे पडतात
स्टँडपासून घरापर्यंतचे सरळ रेषेतील अंतर	विस्थापन (Displacement) = √(x² + y²), पायथागोरसच्या प्रमेयाने

संकल्पना

दिशेच्या (Direction Sense) प्रश्नात सुरुवातीलाच उत्तर (वर), दक्षिण (खाली), पूर्व (उजवीकडे) आणि पश्चिम (डावीकडे) अशी अधिकची खूण काढा. मग प्रत्येक टप्प्यावर लांबी लिहीत मार्ग कागदावर काढा. वळण हे ती व्यक्ती त्या क्षणी कोणत्या दिशेला तोंड करून आहे यावर अवलंबून असते: उजवे वळण म्हणजे घड्याळाच्या काट्यांच्या दिशेने (clockwise) 90°, आणि डावे वळण म्हणजे घड्याळाच्या काट्यांच्या विरुद्ध दिशेने (anticlockwise) 90° — चालणाऱ्याच्या दिशेपासून, कागदाच्या दिशेपासून नाही.

शेवटचे अंतर काढण्यासाठी पूर्व-पश्चिम निव्वळ हालचाल (x) आणि उत्तर-दक्षिण निव्वळ हालचाल (y) काढा, आणि पायथागोरस वापरा: अंतर = √(x² + y²). उत्तराची दिशा सुरुवातीच्या बिंदूपासून शेवटच्या बिंदूकडे पाहून वाचा (उदा. x धन आणि y ऋण म्हणजे आग्नेय, South-East). नेहमीच्या त्रिकुटी: 3-4-5, 6-8-10, 5-12-13, 8-15-17.

सावलीच्या प्रश्नांसाठी: सकाळी सूर्य पूर्वेला असतो, म्हणून सावल्या पश्चिमेकडे पडतात; संध्याकाळी सूर्य पश्चिमेला असतो, म्हणून सावल्या पूर्वेकडे पडतात. दुपारी बारा वाजता जवळजवळ सावलीच नसते (प्रश्नांत दुपार वापरू नका). सकाळी सावली तुमच्या डावीकडे पडत असेल, तर तुमची डावी बाजू पश्चिम, म्हणजे तुम्ही उत्तरेकडे तोंड करून आहात.

महत्त्वाचे मुद्दे व सूत्रे

उजवे वळण = घड्याळाच्या दिशेने 90°; डावे वळण = घड्याळाच्या विरुद्ध दिशेने 90° (सध्याच्या दिशेपासून)
घड्याळाच्या दिशेने क्रम: उ → पू → द → प → उ (N → E → S → W → N); 45° वळणे: उत्तर → ईशान्य (NE) → पूर्व → आग्नेय (SE) → दक्षिण …
निव्वळ x = पूर्व − पश्चिम; निव्वळ y = उत्तर − दक्षिण; अंतर = √(x² + y²)
त्रिकुटी: 3-4-5, 6-8-10, 5-12-13, 8-15-17, 7-24-25
सकाळ: सूर्य पूर्वेला, सावली पश्चिमेकडे. संध्याकाळ: सूर्य पश्चिमेला, सावली पूर्वेकडे
“B पासून A ची दिशा” म्हणजे B वर उभे राहून A कडे पाहा
यू-टर्न म्हणजे 180°; दोन उजवी किंवा दोन डावी वळणे घेतली तरी दिशा उलटते

सोडवलेले उदाहरण

रमेश 10 मी उत्तरेकडे चालतो, उजवीकडे वळून 6 मी चालतो, मग पुन्हा उजवीकडे वळून 18 मी चालतो. तो सुरुवातीच्या बिंदूपासून किती अंतरावर आणि कोणत्या दिशेला आहे?

उकल पाहा

(0, 0) वर उत्तरेकडे तोंड करून सुरुवात. 10 मी चालला → (0, 10).
उत्तरेकडे तोंड असताना उजवे वळण घेतले की तोंड पूर्वेकडे होते. 6 मी चालला → (6, 10).
पूर्वेकडे तोंड असताना उजवे वळण घेतले की तोंड दक्षिणेकडे होते. 18 मी चालला → (6, 10 − 18) = (6, −8).
अंतर = √(6² + 8²) = √100 = 10 मी.
तो सुरुवातीच्या बिंदूच्या पूर्वेला (x = +6) आणि दक्षिणेला (y = −8) आहे: आग्नेय (South-East).

उत्तर: 10 मी, सुरुवातीच्या बिंदूच्या आग्नेयेला (South-East)

परीक्षेसाठी झटपट युक्ती

शेवटचे ठिकाण काढताना हालचालींचा क्रम विसरा: सगळ्या उत्तरेकडच्या हालचालींतून दक्षिणेकडच्या वजा करा, आणि सगळ्या पूर्वेकडच्या हालचालींतून पश्चिमेकडच्या वजा करा. वळणे फक्त प्रत्येक हालचाल कोणत्या दिशेने झाली हे कळण्यासाठी लागतात.

नेहमीच्या चुका

चालणाऱ्याप्रमाणे नव्हे तर कागदाप्रमाणे वळणे. तो दक्षिणेकडे तोंड करून असेल, तर त्याची “उजवी” बाजू पश्चिम असते, पूर्व नाही.
प्रश्न सुरुवातीपासून शेवटच्या बिंदूची दिशा विचारत असताना शेवटापासून सुरुवातीच्या बिंदूची दिशा सांगणे (किंवा उलट). या दोन्ही दिशा परस्परविरुद्ध असतात.

सराव · प्रश्न परीक्षेप्रमाणे इंग्रजीत, खाली मराठी अर्थ · उत्तर तपासण्यासाठी पर्याय निवडा

Q1. A man walks 5 km south, turns left and walks 3 km, then turns left again and walks 9 km. How far is he from his starting point?

एक माणूस 5 किमी दक्षिणेकडे चालतो, डावीकडे वळून 3 किमी चालतो, मग पुन्हा डावीकडे वळून 9 किमी चालतो. तो सुरुवातीच्या बिंदूपासून किती दूर आहे?

Q2. One morning after sunrise, Suresh was standing facing a pole. The shadow of the pole fell exactly to his right. Which direction was he facing?

एका सकाळी सूर्योदयानंतर सुरेश एका खांबाकडे तोंड करून उभा होता. खांबाची सावली नेमकी त्याच्या उजवीकडे पडली. तो कोणत्या दिशेला तोंड करून होता?

Q3. Priya is facing east. She turns 90° clockwise, then 180° anticlockwise, then 45° clockwise. Which direction is she facing now?

प्रिया पूर्वेकडे तोंड करून उभी आहे. ती घड्याळाच्या दिशेने 90°, मग घड्याळाच्या विरुद्ध दिशेने 180°, आणि मग घड्याळाच्या दिशेने 45° वळते. आता तिचे तोंड कोणत्या दिशेला आहे?

Q4. A temple is 6 km north of the bus stand. A well is 8 km east of the temple. How far is the bus stand from the well, and in which direction?

एक देऊळ बस स्टँडच्या 6 किमी उत्तरेला आहे. एक विहीर देवळाच्या 8 किमी पूर्वेला आहे. विहिरीपासून बस स्टँड किती दूर आणि कोणत्या दिशेला आहे?

↑ विषयसूचीकडे परत

तर्कशक्ती · विश्लेषणात्मक कोडी · विषय 6 / 14

क्रमवारी

Ranking & Ordering

पूर्ण झाले म्हणून खूण करा

असं समजा…

रेशन दुकानासमोरची रांग

महिन्याच्या एक तारखेला रेशन दुकानासमोर (स्वस्त धान्य दुकान) लांबच लांब रांग लागते. तुम्ही मोजता: दुकानाच्या खिडकीपासून तुम्ही 7 वे आहात. रांगेच्या शेवटी उभा तुमचा मित्र ओरडून सांगतो की त्याच्या टोकाकडून तुम्ही 12 वे आहात. मग रांगेत एकूण किती लोक? पुढून मोजताना तुम्ही स्वतःला मोजले, आणि मागून मोजतानाही पुन्हा स्वतःला मोजले, म्हणून एकूण 7 + 12 − 1 = 18. रांगेत दोघांनी जागांची अदलाबदल केली, तर एकाची जागा दुसऱ्याची जागा सांगते. आणि एखाद्या काकू म्हणाल्या, “मी पाटील बाईंच्या मागे आहे पण शिंदे बाईंच्या पुढे”, तर रांग न बघताही तुम्ही त्यांना क्रमाने लावू शकता. क्रमवारीचे प्रश्न म्हणजे शब्दांत लिहिलेली हीच रांग.

रोजच्या जीवनात	परीक्षेच्या विषयात
दुकानाच्या खिडकीपासून तुमचा क्रमांक	वरून / डावीकडून क्रमांक
रांगेच्या शेवटापासून तुमचा क्रमांक	खालून / उजवीकडून क्रमांक
तुम्ही दोनदा मोजले जाता	एकूण = डावीकडून + उजवीकडून − 1
दोघांनी जागांची अदलाबदल करणे	अदलाबदल (Interchange): एकाची नवी जागा = दुसऱ्याची जुनी जागा
“पाटील बाईंच्या मागे, शिंदे बाईंच्या पुढे”	क्रमाचे संकेत: > चिन्हांची साखळी लिहा

संकल्पना

क्रमवारीत (Ranking & Ordering) एका व्यक्तीसाठी: एकूण = डावीकडून स्थान + उजवीकडून स्थान − 1. याच सूत्राने एका टोकापासूनचे स्थानही मिळते: उजवीकडून स्थान = एकूण − डावीकडून स्थान + 1. वर्गातील क्रमांकही (वरून क्रमांक आणि खालून क्रमांक) असेच चालतात.

दोन व्यक्तींसाठी आधी दोघांची स्थाने एकाच टोकापासून काढा. मग त्यांच्यामधील लोकांची संख्या = (स्थानांतील फरक) − 1. अदलाबदलीच्या प्रश्नांत, जागा बदलल्यानंतर A हा B जिथे उभा होता तिथे उभा असतो — म्हणजे A चे डावीकडून नवे स्थान = B चे डावीकडून स्थान. हे B च्या उजवीकडून स्थानाशी जोडले की एकूण संख्या मिळते.

उंची, गुण, वय इत्यादींनुसार क्रम लावताना प्रत्येक संकेत > (जास्त उंच, जास्त गुण, मोठा) वापरून साखळीत लिहा आणि साखळ्या जोडा: P > Q, R > P यावरून R > P > Q. सर्वात निश्चित संकेत आधी लावा. साखळी पूर्ण होत नसेल, तर उत्तर “ठरवता येत नाही” (cannot be determined) — अंदाज लावू नका.

महत्त्वाचे मुद्दे व सूत्रे

एकूण = L + R − 1
उजवीकडून स्थान = एकूण − L + 1
दोघांच्या मध्ये (एकाच टोकापासून स्थाने a आणि b): |a − b| − 1
अदलाबदल: A चे नवे स्थान = B चे जुने स्थान (एकाच टोकापासून)
क्रम लावणे: > वापरून एकच साखळी बनवा आणि वरून k वा वाचा
A डावीकडून p वा आणि B उजवीकडून q वा (B हा A च्या उजवीकडे, जागा एकमेकांवर येत नाहीत) तर रांगेत किमान एकूण = p + q

सोडवलेले उदाहरण

विद्यार्थ्यांच्या एका रांगेत अमित डाव्या टोकापासून 12 वा आणि उजव्या टोकापासून 18 वा आहे. रांगेत किती विद्यार्थी आहेत?

उकल पाहा

अमित एकदा डावीकडून (12) आणि एकदा उजवीकडून (18) मोजला गेला.
तो दोनदा मोजला गेला, म्हणून 1 वजा करा.
एकूण = 12 + 18 − 1 = 29.

उत्तर: 29 विद्यार्थी

परीक्षेसाठी झटपट युक्ती

अदलाबदलीच्या प्रश्नांत जागा बदलणाऱ्या व्यक्तीकडे दुर्लक्ष करा आणि फक्त जागेकडे बघा: “B ची जागा घेतल्यावर A डावीकडून 15 वा होतो” म्हणजे B ची जागा डावीकडून 15 वी आहे. मग B च्या उजवीकडून स्थानासोबत L + R − 1 वापरा.

नेहमीच्या चुका

L + R − 1 मधील −1 विसरणे, आणि 29 ऐवजी 30 उत्तर देणे.
दोन व्यक्तींच्या मधले लोक मोजताना टोके मिसळणे: आधी नेहमी दोघांची स्थाने एकाच टोकापासून काढा.

सराव · प्रश्न परीक्षेप्रमाणे इंग्रजीत, खाली मराठी अर्थ · उत्तर तपासण्यासाठी पर्याय निवडा

Q1. In a class of 40 students, Rahul ranks 13th from the top. What is his rank from the bottom?

40 विद्यार्थ्यांच्या वर्गात राहुलचा वरून 13 वा क्रमांक आहे. खालून त्याचा क्रमांक कितवा?

Q2. In a row, A is 10th from the left and B is 9th from the right. When they interchange their positions, A becomes 15th from the left. How many people are in the row?

एका रांगेत A डावीकडून 10 वा आणि B उजवीकडून 9 वा आहे. त्यांनी जागांची अदलाबदल केल्यावर A डावीकडून 15 वा होतो. रांगेत किती लोक आहेत?

Q3. Among P, Q, R, S and T: P is taller than Q but shorter than R. S is taller than R. T is shorter than Q. Who is the third tallest?

P, Q, R, S आणि T पैकी: P हा Q पेक्षा उंच पण R पेक्षा बुटका आहे. S हा R पेक्षा उंच आहे. T हा Q पेक्षा बुटका आहे. उंचीत तिसरा कोण?

Q4. In a row of 30 children, Meena is 8th from the left and Kiran is 12th from the right. How many children are there between Meena and Kiran?

30 मुलांच्या रांगेत मीना डावीकडून 8 वी आणि किरण उजवीकडून 12 वा आहे. मीना आणि किरण यांच्यामध्ये किती मुले आहेत?

↑ विषयसूचीकडे परत

तर्कशक्ती · विश्लेषणात्मक कोडी · विषय 7 / 14

बैठक व्यवस्था — रेषीय व वर्तुळाकार

Seating Arrangement — Linear & Circular

पूर्ण झाले म्हणून खूण करा

असं समजा…

मुंबई लोकलच्या डब्यातील आसने

लोकलमध्ये लांब बाक एकमेकांसमोर असतात: एका बाकावरचे लोक इंजिनाकडे तोंड करून बसतात आणि समोरच्या बाकावरचे उलट्या दिशेला. तुम्ही इंजिनाकडे तोंड करून बसला असाल, तर तुमचा उजवा हात एका खिडकीकडे असतो; तुमच्या समोर बसलेल्या प्रवाशाचा उजवा हात दुसऱ्या खिडकीकडे असतो. म्हणून “X हा Y च्या उजवीकडे आहे” याचा अर्थ Y कोणत्या बाकावर बसला आहे त्यानुसार वेगळी जागा होतो. रोजचे प्रवासी एका ओळखीच्या माणसावरून जागा ठरवतात: “काका नेहमी खिडकीजवळ बसतात — मी त्यांच्यापासून दुसऱ्या जागेवर बसतो.” हॉटेलमधले गोल टेबल म्हणजे हाच बाक वाकवून त्याची दोन्ही टोके जोडलेले वर्तुळ. बैठक व्यवस्थेचे प्रश्न असेच सुटतात: एका प्रवाशाची जागा पक्की करा, बाक काढा, आणि प्रत्येकजण ज्या दिशेला तोंड करून आहे त्याप्रमाणे “उजवी/डावी” चे जागांत रूपांतर करा.

रोजच्या जीवनात	परीक्षेच्या विषयात
इंजिनाकडे तोंड असलेला बाक विरुद्ध उलट तोंड असलेला बाक	उत्तरेकडे तोंड विरुद्ध दक्षिणेकडे तोंड: डावी-उजवी बाजू अदलाबदल होते
“काका नेहमी खिडकीजवळ बसतात”	सर्वात निश्चित संकेताने (पक्की जागा) सुरुवात करा
“मी काकांपासून दुसऱ्या जागेवर बसतो”	सापेक्ष संकेत: उजवीकडे/डावीकडे दुसरा
गोल टेबलसाठी वाकवलेला बाक	वर्तुळाकार व्यवस्था: टोके नाहीत, फक्त शेजारी आणि समोरचे
गोल टेबलच्या मध्याकडे तोंड	उजवी = घड्याळाच्या विरुद्ध दिशा, डावी = घड्याळाची दिशा

संकल्पना

रेषीय (Linear) बैठक व्यवस्था: जागांसाठी रिकाम्या रेघा काढा आणि रांग कोणत्या दिशेला तोंड करून आहे ते लिहा. लोक उत्तरेकडे (कागदावर वर, तुम्ही बघता त्याच दिशेने) तोंड करून असतील, तर त्यांची उजवी बाजू म्हणजे तुमची उजवी बाजू. दक्षिणेकडे तोंड असेल, तर त्यांची उजवी बाजू म्हणजे तुमची डावी बाजू. आधी पक्के संकेत लावा (“C डाव्या टोकापासून तिसरा आहे”, “A एका टोकाला बसतो”), मग सापेक्ष संकेत (“B हा C च्या लगेच उजवीकडे आहे”). एखाद्या संकेतातून दोन शक्यता निघत असतील, तर दोन्ही प्रकरणे काढा आणि पुढच्या संकेताला मोडणारे प्रकरण बाद करा.

वर्तुळाकार (Circular) बैठक व्यवस्था: योग्य जागांचे वर्तुळ काढा. कोणत्याही एका व्यक्तीला तळाशी बसवा — कोणी बसेपर्यंत वर्तुळातील प्रत्येक जागा सारखीच असते. लोक मध्याकडे तोंड करून असतील, तर “उजवी” म्हणजे घड्याळाच्या विरुद्ध दिशा (anticlockwise) आणि “डावी” म्हणजे घड्याळाची दिशा (clockwise). बाहेर तोंड असेल तर याच्या उलट. n जागा (n सम) असतील, तर समोरची व्यक्ती n/2 जागा दूर असते.

सुरुवात करण्याआधी संचातील सगळे प्रश्न वाचा: कधी कधी एखादा संकेत नंतरच उपयोगी पडतो. व्यवस्था पूर्ण झाल्यावर प्रत्येक संकेत अंतिम आकृतीशी एकदा पुन्हा पडताळा — यामुळे बहुतेक चुका पकडल्या जातात.

महत्त्वाचे मुद्दे व सूत्रे

उत्तरेकडे तोंड: त्यांची उजवी = कागदाची उजवी. दक्षिणेकडे तोंड: त्यांची उजवी = कागदाची डावी
वर्तुळ, मध्याकडे तोंड: उजवी = घड्याळाच्या विरुद्ध, डावी = घड्याळाच्या दिशेने
वर्तुळ, बाहेर तोंड: उजवी = घड्याळाच्या दिशेने, डावी = घड्याळाच्या विरुद्ध
“लगेच उजवीकडे” (immediate right) = अगदी पुढची जागा; “उजवीकडे दुसरा” = एक जागा सोडून
वर्तुळात n लोक: समोरची व्यक्ती n/2 जागा दूर (n सम)
आधी निश्चित संकेत, मग सापेक्ष संकेत, मग नकारात्मक संकेत (“शेजारी नाही”)
दोन शक्यता? दोन्ही शेजारी-शेजारी काढा आणि बाद करा

सोडवलेले उदाहरण

V, W, X, Y आणि Z हे पाच मित्र उत्तरेकडे तोंड करून एका रांगेत बसले आहेत. X मध्यभागी बसला आहे. Z अगदी उजव्या टोकाला बसला आहे. W हा X च्या डावीकडे दुसरा बसला आहे. Y हा Z चा लगतचा शेजारी नाही. X आणि Z यांच्यामध्ये कोण बसले आहे?

उकल पाहा

डावीकडून उजवीकडे जागा 1 ते 5; उत्तरेकडे तोंड असल्याने त्यांची डावी-उजवी कागदाप्रमाणेच.
X मध्यभागी: जागा 3. Z उजव्या टोकाला: जागा 5.
W हा X च्या डावीकडे दुसरा: जागा 3 − 2 = जागा 1.
जागा 2 आणि 4 V व Y साठी उरल्या. Y हा Z च्या शेजारी (जागा 4) असू शकत नाही, म्हणून Y जागा 2 वर आणि V जागा 4 वर.
क्रम: W, Y, X, V, Z. X (3) आणि Z (5) यांच्यामध्ये V आहे.

उत्तर: V

परीक्षेसाठी झटपट युक्ती

सगळे मध्याकडे तोंड करून बसलेल्या वर्तुळात फक्त लक्षात ठेवा: “उजवी = घड्याळाच्या उलट” (Right = Reverse of clock, anticlockwise). परीक्षेत गोंधळ होऊ नये म्हणून वर्तुळाशेजारी छोटेसे ↺ = R लिहून ठेवा.

नेहमीच्या चुका

दक्षिणेकडे तोंड असलेल्या लोकांसाठी कागदाची उजवी बाजू वापरणे. ते समोरच्या बाकावरच्या प्रवाशांसारखे असतात: त्यांची उजवी म्हणजे तुमची डावी.
“B हा A आणि C यांच्यामध्ये बसला आहे” याचा अर्थ “अगदी मध्ये” असा घेणे, जेव्हा प्रश्न तसे सांगत नाही. “लगेच” (immediately) असे म्हटले नसेल, तर मध्ये इतर लोकही असू शकतात.

सराव · प्रश्न परीक्षेप्रमाणे इंग्रजीत, खाली मराठी अर्थ · उत्तर तपासण्यासाठी पर्याय निवडा

Q1. Six friends A, B, C, D, E and F sit in a row facing north. C is third from the left end. B sits to the immediate right of C. A sits at one of the ends. E is an immediate neighbour of both A and B. F does not sit at an end. Who sits at the left end?

A, B, C, D, E आणि F हे सहा मित्र उत्तरेकडे तोंड करून एका रांगेत बसले आहेत. C डाव्या टोकापासून तिसरा आहे. B हा C च्या लगेच उजवीकडे बसला आहे. A एका टोकाला बसला आहे. E हा A आणि B दोघांचाही लगतचा शेजारी आहे. F टोकाला बसलेला नाही. डाव्या टोकाला कोण बसले आहे?

Q2. Six friends A, B, C, D, E and F sit in a row facing north. C is third from the left end. B sits to the immediate right of C. A sits at one of the ends. E is an immediate neighbour of both A and B. F does not sit at an end. Who sits second to the right of C?

A, B, C, D, E आणि F हे सहा मित्र उत्तरेकडे तोंड करून एका रांगेत बसले आहेत. C डाव्या टोकापासून तिसरा आहे. B हा C च्या लगेच उजवीकडे बसला आहे. A एका टोकाला बसला आहे. E हा A आणि B दोघांचाही लगतचा शेजारी आहे. F टोकाला बसलेला नाही. C च्या उजवीकडे दुसरा कोण बसला आहे?

Q3. Six people P, Q, R, S, T and U sit around a circular table facing the centre. S sits opposite P. Q sits to the immediate right of P. R sits second to the left of Q. U sits between Q and S, next to both. Who sits opposite R?

P, Q, R, S, T आणि U हे सहा जण एका गोल टेबलभोवती मध्याकडे तोंड करून बसले आहेत. S हा P च्या समोर बसला आहे. Q हा P च्या लगेच उजवीकडे बसला आहे. R हा Q च्या डावीकडे दुसरा बसला आहे. U हा Q आणि S यांच्यामध्ये, दोघांच्याही शेजारी बसला आहे. R च्या समोर कोण बसले आहे?

Q4. Six people P, Q, R, S, T and U sit around a circular table facing the centre. S sits opposite P. Q sits to the immediate right of P. R sits second to the left of Q. U sits between Q and S, next to both. Who sits second to the right of S?

P, Q, R, S, T आणि U हे सहा जण एका गोल टेबलभोवती मध्याकडे तोंड करून बसले आहेत. S हा P च्या समोर बसला आहे. Q हा P च्या लगेच उजवीकडे बसला आहे. R हा Q च्या डावीकडे दुसरा बसला आहे. U हा Q आणि S यांच्यामध्ये, दोघांच्याही शेजारी बसला आहे. S च्या उजवीकडे दुसरा कोण बसला आहे?

↑ विषयसूचीकडे परत

तर्कशक्ती · विश्लेषणात्मक कोडी · विषय 8 / 14

कोडी — वेळापत्रक, मजले व अनेक गुणधर्मांचे तक्ते

Puzzles — Scheduling, Floors & Multi-attribute Grids

पूर्ण झाले म्हणून खूण करा

असं समजा…

गणपती मंडळाच्या स्वयंसेवकांचे वेळापत्रक

दर वर्षी गणपती मंडळाच्या सेक्रेटरीला वेळापत्रक बनवावे लागते: आरती कोण करणार, प्रसाद कोण बघणार, गर्दी कोण सांभाळणार, आणि कोणत्या दिवशी. प्रत्येकाची काहीतरी अट असते — “सचिन बुधवारच्या आधी येऊ शकत नाही”, “पूजा फक्त प्रसादच बघणार”, “रोहित सचिनच्या दुसऱ्या दिवशी आला पाहिजे”. सेक्रेटरी हे सगळे डोक्यात ठेवत नाही. तो एक तक्ता काढतो — बाजूला खाली नावे आणि वर आडवे दिवस — आधी पक्क्या गोष्टी भरतो (पूजा = प्रसाद), जे अशक्य आहे तिथे ✗ मारतो, आणि लवकरच प्रत्येक ओळीत आणि स्तंभात एकच रिकामी जागा उरते. एखाद्या अटीमुळे दोन पर्याय उरले, तर तो पेन्सिलने दोन्ही लिहितो आणि कोणता नियम मोडतो ते तपासतो. परीक्षेतली कोडी म्हणजे हेच वेळापत्रक.

रोजच्या जीवनात	परीक्षेच्या विषयात
बाजूला खाली नावे, वर आडवे दिवस/कामे	प्रत्येक व्यक्तीसाठी एक ओळ, प्रत्येक गुणधर्म-मूल्यासाठी एक स्तंभ असलेला तक्ता
“पूजा फक्त प्रसादच बघणार”	निश्चित संकेत: आधी त्याची खूण करा
“सचिन बुधवारच्या आधी येऊ शकत नाही”	नकारात्मक संकेत: त्या चौकटींत ✗ मारा
एका दिवशी एकच व्यक्ती, एका व्यक्तीला एकच दिवस	प्रत्येक ओळीत आणि प्रत्येक स्तंभात नेमकी एकच खूण
पेन्सिलने दोन संभाव्य वेळापत्रके लिहिणे	प्रकरण विश्लेषण (Case analysis): दोन्ही वापरून पाहा, संकेत मोडणारे बाद करा

संकल्पना

बहुतेक कोड्यांत (Puzzles) लोकांना एक किंवा अधिक गुणधर्मांशी (दिवस, मजला, शहर, रंग, विषय) जोडायचे असते. एक तक्ता काढा: प्रत्येक स्थानासाठी एक ओळ (सोमवार, मंगळवार … किंवा मजला 1 ते 5) आणि प्रत्येक गुणधर्मासाठी एक स्तंभ. प्रत्येक संकेत थोडक्यात तक्त्याशेजारी लिहा, म्हणजे परिच्छेद पुन्हा पुन्हा वाचावा लागत नाही.

संकेत या क्रमाने भरा: (1) निश्चित संकेत (“चिराग सर्वात वरच्या मजल्यावर राहतो”), (2) आधीच बसवलेल्या व्यक्तीवर अवलंबून असलेले जोडलेले संकेत (“अमित चिरागच्या दोन मजले खाली राहतो”), (3) नकारात्मक संकेत (“जोशी Python शिकवत नाहीत”). एखादा संकेत अजूनही दोन जागा देत असेल, तर दोन्ही प्रकरणे शेजारी-शेजारी लिहा आणि जोपर्यंत एखादे नियम मोडत नाही तोपर्यंत दोन्ही पुढे न्या.

मजल्यांच्या कोड्यात आधी क्रमांकन ठरवा: वेगळे सांगितले नसेल तर मजला 1 सर्वात खालचा. “वर” आणि “खाली” म्हणजे “लगेच वर/खाली” नव्हे. वेळापत्रकात “दुसऱ्या दिवशी” (the day after) म्हणजे लगेच पुढचा दिवस, पण “आधी” (before) म्हणजे आधीचा कोणताही दिवस. तक्ता पूर्ण झाल्यावर प्रत्येक संकेत पुन्हा एकदा तपासा.

महत्त्वाचे मुद्दे व सूत्रे

दुसरा संकेत वाचण्याआधीच तक्ता काढा
क्रम: निश्चित → जोडलेले → नकारात्मक संकेत
“लगेच वर/नंतर” = अगदी पुढचा; “वर/नंतर” = वरचा/नंतरचा कोणताही
प्रत्येक व्यक्ती–मूल्य जोडी नेमकी एकदाच (प्रत्येक ओळीत व स्तंभात एकच खूण)
दोन प्रकरणे? दोन्ही सोडवा; टिकून राहते ते उत्तर
प्रश्नात “तळमजला = 0” असे म्हटले नसेल तर मजला 1 सर्वात खाली
उत्तर देण्याआधी प्रत्येक संकेत अंतिम तक्त्याशी पडताळा

सोडवलेले उदाहरण

ओम, पूजा आणि रोहन हे तीन मित्र पुणे, नाशिक आणि नागपूर येथून (प्रत्येकी एक) आले आहेत, आणि प्रत्येकाला वेगळी मिठाई आवडते: मोदक, पुरणपोळी आणि श्रीखंड. (1) पूजा नाशिकची आहे. (2) पुण्याच्या मित्राला मोदक आवडतात. (3) रोहनला ना मोदक आवडतात ना श्रीखंड. श्रीखंड कोणाला आवडते, आणि ती व्यक्ती कोणत्या शहराची आहे?

उकल पाहा

3 × 2 तक्ता करा: नाव | शहर | मिठाई.
संकेत 1 (निश्चित): पूजा = नाशिक.
संकेत 3: रोहनला ना मोदक ना श्रीखंड, म्हणून रोहन = पुरणपोळी.
संकेत 2: पुण्याच्या मित्राला मोदक आवडतात. रोहनला मोदक आवडत नाहीत, म्हणून रोहन पुण्याचा नाही. पूजा नाशिकची आहे, म्हणून रोहन = नागपूर आणि ओम = पुणे.
ओमला (पुणे) मोदक आवडतात. उरलेली मिठाई श्रीखंड, ती पूजाला.

उत्तर: नाशिकच्या पूजाला श्रीखंड आवडते.

परीक्षेसाठी झटपट युक्ती

आधी संचातील सगळे प्रश्न वाचा. कधी कधी प्रश्न फक्त एकाच व्यक्तीबद्दल असतो, आणि पूर्ण तक्ता न भरता फक्त दोन-तीन संकेत लावूनच त्याचे उत्तर देता येते.

नेहमीच्या चुका

“बीना एकनाथच्या खाली राहते” याचा अर्थ “लगेच खाली” असा घेणे. “लगेच” हा शब्द नसेल, तर खालचा कोणताही मजला शक्य आहे.
वेळापत्रकात “आधी” म्हणजे आधीचा कोणताही दिवस, फक्त मागचा दिवस नव्हे — हे विसरणे.

सराव · प्रश्न परीक्षेप्रमाणे इंग्रजीत, खाली मराठी अर्थ · उत्तर तपासण्यासाठी पर्याय निवडा

Q1. Five friends Amit, Bina, Chirag, Divya and Eknath live on floors 1 to 5 of a building (floor 1 is the lowest), one per floor. Chirag lives on the top floor. Amit lives two floors below Chirag. Eknath lives immediately below Amit. Divya lives on an even-numbered floor. Who lives on floor 1?

अमित, बीना, चिराग, दिव्या आणि एकनाथ हे पाच मित्र एका इमारतीत मजला 1 ते 5 वर (मजला 1 सर्वात खालचा), प्रत्येक मजल्यावर एक, राहतात. चिराग सर्वात वरच्या मजल्यावर राहतो. अमित चिरागच्या दोन मजले खाली राहतो. एकनाथ अमितच्या लगेच खाली राहतो. दिव्या सम क्रमांकाच्या मजल्यावर राहते. मजला 1 वर कोण राहते?

Q2. Five friends Amit, Bina, Chirag, Divya and Eknath live on floors 1 to 5 of a building (floor 1 is the lowest), one per floor. Chirag lives on the top floor. Amit lives two floors below Chirag. Eknath lives immediately below Amit. Divya lives on an even-numbered floor. How many people live between Bina and Divya?

अमित, बीना, चिराग, दिव्या आणि एकनाथ हे पाच मित्र एका इमारतीत मजला 1 ते 5 वर (मजला 1 सर्वात खालचा), प्रत्येक मजल्यावर एक, राहतात. चिराग सर्वात वरच्या मजल्यावर राहतो. अमित चिरागच्या दोन मजले खाली राहतो. एकनाथ अमितच्या लगेच खाली राहतो. दिव्या सम क्रमांकाच्या मजल्यावर राहते. बीना आणि दिव्या यांच्यामध्ये किती लोक राहतात?

Q3. Four lectures — C, Java, Python and SQL — are held on Monday to Thursday, one per day, each taught by a different professor: Joshi, Kulkarni, Patil and Shaikh. Java is held the day after C. SQL is held on some day before C. Python is not on Monday or Tuesday. Patil teaches Java. Shaikh’s lecture is on Monday. Joshi does not teach Python. Who teaches the lecture on Tuesday?

C, Java, Python आणि SQL ही चार लेक्चर्स सोमवार ते गुरुवार, रोज एक, होतात, आणि प्रत्येक वेगळे प्राध्यापक शिकवतात: जोशी, कुलकर्णी, पाटील आणि शेख. Java हे C च्या दुसऱ्या दिवशी होते. SQL हे C च्या आधी कोणत्यातरी दिवशी होते. Python सोमवारी किंवा मंगळवारी नसते. पाटील Java शिकवतात. शेख यांचे लेक्चर सोमवारी आहे. जोशी Python शिकवत नाहीत. मंगळवारचे लेक्चर कोण शिकवतात?

Q4. Four lectures — C, Java, Python and SQL — are held on Monday to Thursday, one per day, each taught by a different professor: Joshi, Kulkarni, Patil and Shaikh. Java is held the day after C. SQL is held on some day before C. Python is not on Monday or Tuesday. Patil teaches Java. Shaikh’s lecture is on Monday. Joshi does not teach Python. Which lecture does Prof. Kulkarni teach, and on which day?

C, Java, Python आणि SQL ही चार लेक्चर्स सोमवार ते गुरुवार, रोज एक, होतात, आणि प्रत्येक वेगळे प्राध्यापक शिकवतात: जोशी, कुलकर्णी, पाटील आणि शेख. Java हे C च्या दुसऱ्या दिवशी होते. SQL हे C च्या आधी कोणत्यातरी दिवशी होते. Python सोमवारी किंवा मंगळवारी नसते. पाटील Java शिकवतात. शेख यांचे लेक्चर सोमवारी आहे. जोशी Python शिकवत नाहीत. प्रा. कुलकर्णी कोणते लेक्चर आणि कोणत्या दिवशी शिकवतात?

↑ विषयसूचीकडे परत

तर्कशक्ती · तार्किक निष्कर्ष · विषय 9 / 14

सिलॉजिझम (तर्कवाक्ये)

Syllogisms

पूर्ण झाले म्हणून खूण करा

असं समजा…

व्हॉट्सॲप ग्रुप आणि त्यांचे सदस्य

“Class FY-MCA”, “College Cricket” आणि “Family” हे व्हॉट्सॲप ग्रुप आहेत असे समजा. “FY-MCA चे सगळे सदस्य कॉलेजच्या ग्रुपमध्ये आहेत” म्हणजे वर्गाचा ग्रुप पूर्णपणे कॉलेजच्या ग्रुपच्या आत आहे. “क्रिकेटचे काही सदस्य FY-MCA मध्ये आहेत” म्हणजे किमान एक व्यक्ती दोन्हींत आहे — कदाचित एक, कदाचित सगळे. “फॅमिलीतला एकही सदस्य College Cricket मध्ये नाही” म्हणजे दोन्ही ग्रुपमध्ये एकही समान व्यक्ती नाही. आता, ज्या ग्रुपमध्ये तुम्ही नाही त्याची सदस्य-यादी तुम्हाला दिसत नाही, म्हणून स्वतःला विचारा: लपलेले सदस्य कोणीही असले तरी हे विधान खरे ठरते का? हो, तर तो निष्कर्ष निश्चितपणे निघतो. काही याद्यांत खरा आणि काहींत खोटा ठरत असेल, तर ती फक्त एक शक्यता आहे. सिलॉजिझम नेमके असेच तपासले जातात.

रोजच्या जीवनात	परीक्षेच्या विषयात
एक व्हॉट्सॲप ग्रुप	एक वर्ग (वेन आकृतीतील वर्तुळ)
वर्गाचा ग्रुप पूर्णपणे कॉलेजच्या ग्रुपच्या आत	“All A are B” (सर्व A हे B आहेत): वर्तुळ A हे वर्तुळ B च्या आत
दोन ग्रुपमध्ये किमान एक समान सदस्य	“Some A are B” (काही A हे B आहेत): वर्तुळे एकमेकांवर येतात (किमान एक घटक)
एकही समान सदस्य नसलेले दोन ग्रुप	“No A is B” (एकही A हा B नाही): वेगवेगळी वर्तुळे
लपलेली सदस्य-यादी दिसत नाही	प्रत्येक शक्य आकृती तपासा: सगळ्यांत खरे असेल तरच निश्चित

संकल्पना

सर्व विधाने पाळणारी सर्वात सोपी वेन आकृती (Venn diagram) काढा, आणि मग विचारा: (प्रत्येक विधान पाळून) ही आकृती अशी पुन्हा काढता येईल का की निष्कर्ष (Conclusion) खोटा ठरेल? येत असेल, तर तो निष्कर्ष निश्चितपणे निघत नाही. कोणत्याही वैध आकृतीत तो खोटा ठरत नसेल, तर तो निघतो. “काही” (Some) म्हणजे किमान एक, कदाचित सर्वसुद्धा.

उपयोगी निश्चित निष्कर्ष: “All A are B” वरून “Some A are B” आणि “Some B are A”. “Some A are B” वरून “Some B are A”. “No A is B” वरून “No B is A”. दोन “some” विधाने (Some A are B, Some B are C) A आणि C यांच्यात कोणताही निश्चित संबंध देत नाहीत. “All A are B + No B is C” वरून “No A is C”. “Some A are B + No B is C” वरून “Some A are not C”.

शक्यता (Possibility) प्रकारचे निष्कर्ष (“Some A being C is a possibility”) किमान एका वैध आकृतीत खरे ठरत असतील तर निघतात; विधानांनी ते खोटेच ठरवले तरच ते बाद होतात. Either–or (एकतर-किंवा): “Some A are B” आणि “No A is B” सारख्या जोडीपैकी कोणताच निष्कर्ष स्वतंत्रपणे निश्चित निघत नसेल, पण दोघे मिळून (त्याच दोन पदांवर) प्रत्येक शक्यता व्यापत असतील, तर उत्तर “Either I or II follows”.

महत्त्वाचे मुद्दे व सूत्रे

All A are B → A हे B च्या आत; शिवाय Some A are B आणि Some B are A
Some A are B → Some B are A (किमान एक समान)
No A is B → No B is A
All A–B + All B–C → All A are C; All A–B + No B–C → No A is C; Some A–B + All B–C → Some A are C; Some A–B + No B–C → Some A are not C
Some + Some, किंवा No + No, किंवा All (A हे B मध्ये) + Some (B आणि C): A–C बद्दल निश्चित निष्कर्ष नाही
“All A are B” वरून “All B are A” निघत नाही — पण ती एक शक्यता आहे
एखाद्या निश्चित विधानाने मनाई केली तरच शक्यता बाद होते
Either–or: त्याच दोन पदांवरील पूरक जोडी (Some/No, किंवा All/Some-not), ज्यातील कोणताही एकटा निश्चित नाही

सोडवलेले उदाहरण

विधाने: सर्व पेन पुस्तके आहेत. काही पुस्तके पिशव्या आहेत. निष्कर्ष: I. काही पेन पिशव्या आहेत. II. काही पिशव्या पुस्तके आहेत.

उकल पाहा

पेनांचे वर्तुळ पुस्तकांच्या वर्तुळाच्या आत काढा. पिशव्यांचे वर्तुळ पुस्तकांच्या वर्तुळावर येईल असे काढा.
निष्कर्ष I: पिशव्यांचे वर्तुळ फक्त पेनांच्या बाहेरच्या पुस्तकांच्या भागालाच स्पर्श करू शकते का? हो. मग एकही पेन पिशवी नाही, म्हणून I निश्चितपणे निघत नाही.
निष्कर्ष II: “काही पुस्तके पिशव्या आहेत” म्हणजे किमान एक पुस्तक ही पिशवी आहे, म्हणजे ती वस्तू पुस्तक असलेली पिशवी आहे. II निघतो (तो विधानाचाच उलटा क्रम आहे).

उत्तर: फक्त II निघतो.

परीक्षेसाठी झटपट युक्ती

पटकन तपासण्यासाठी नियमांचा तक्ता वापरा: दोन टोकांच्या पदांना जोडणारा निश्चित निष्कर्ष निघण्यासाठी मधले पद (middle term) किमान एका विधानात पूर्णपणे व्यापलेले हवे — “All” विधानाचा कर्ता म्हणून, किंवा “No” विधानात. इथे मधले पद पुस्तके आहे: “सर्व पेन पुस्तके आहेत” पेन व्यापते, पुस्तके नाही, आणि “काही पुस्तके पिशव्या आहेत” सुद्धा पुस्तके व्यापत नाही — म्हणून पेन–पिशवी असा कोणताही निश्चित निष्कर्ष निघत नाही.

नेहमीच्या चुका

खऱ्या जगातील ज्ञान वापरणे. विधानात “सर्व मांजरी कुत्रे आहेत” असे असेल, तर प्रश्नापुरते ते खरे माना.
“All A are B” वरून “All B are A” असा निष्कर्ष काढणे. वर्गाचा ग्रुप कॉलेजच्या ग्रुपच्या आत आहे; कॉलेजचा ग्रुप वर्गाच्या ग्रुपच्या आत नाही.

सराव · प्रश्न परीक्षेप्रमाणे इंग्रजीत, खाली मराठी अर्थ · उत्तर तपासण्यासाठी पर्याय निवडा

Q1. Statements: All dogs are animals. All animals are living beings. Conclusions: I. All dogs are living beings. II. Some living beings are dogs.

विधाने: सर्व कुत्रे प्राणी आहेत. सर्व प्राणी सजीव आहेत. निष्कर्ष: I. सर्व कुत्रे सजीव आहेत. II. काही सजीव कुत्रे आहेत.

Q2. Statements: Some teachers are singers. No singer is a dancer. Conclusions: I. Some teachers are not dancers. II. No teacher is a dancer.

विधाने: काही शिक्षक गायक आहेत. एकही गायक नर्तक नाही. निष्कर्ष: I. काही शिक्षक नर्तक नाहीत. II. एकही शिक्षक नर्तक नाही.

Q3. Statements: Some phones are laptops. Some laptops are tablets. Conclusions: I. Some phones are tablets. II. No phone is a tablet.

विधाने: काही फोन लॅपटॉप आहेत. काही लॅपटॉप टॅबलेट आहेत. निष्कर्ष: I. काही फोन टॅबलेट आहेत. II. एकही फोन टॅबलेट नाही.

Q4. Statements: All cars are buses. No bus is a truck. Conclusions: I. Some cars being trucks is a possibility. II. All buses being cars is a possibility.

विधाने: सर्व कार बस आहेत. एकही बस ट्रक नाही. निष्कर्ष: I. काही कार ट्रक असण्याची शक्यता आहे. II. सर्व बस कार असण्याची शक्यता आहे.

↑ विषयसूचीकडे परत

तर्कशक्ती · शाब्दिक तर्क · विषय 10 / 14

विधाने — गृहीतके, निष्कर्ष व अनुमाने

Statements — Assumptions, Conclusions & Inferences

पूर्ण झाले म्हणून खूण करा

असं समजा…

ग्रामपंचायतीची दवंडी

ग्रामपंचायत एका माणसाला डफ घेऊन गावभर पाठवते: “ऐका हो ऐका! पावसाळ्यात कावीळ टाळण्यासाठी पिण्याचे पाणी उकळून प्या!” सरपंच यावर पैसे का खर्च करतील? कारण त्यांच्या मनात दोन गोष्टी गृहीत आहेत: लोक दवंडी ऐकतील, आणि पाणी उकळल्याने खरंच काविळीचा धोका कमी होतो. हे न बोललेले विश्वास म्हणजे गृहीतके. गावकरी खात्रीने काय समजू शकतात? “मी पाणी उकळले तर माझा धोका कमी होतो” — हा थेट शब्दांतून निघणारा निष्कर्ष. पण चावडीवरच्या गप्पा — “म्हणजे आता अख्ख्या गावाला कावीळ झालीय!” किंवा “भारतात कुठेही फक्त उकळलेलेच पाणी सुरक्षित आहे” — दवंडीत जे सांगितले त्याच्या पलीकडे जातात. परीक्षेतले प्रश्न म्हणजे हीच दवंडी: फक्त दवंडीतले शब्द वापरून तिच्यामागे काय आहे आणि तिच्यातून काय निघते ते ठरवायचे.

रोजच्या जीवनात	परीक्षेच्या विषयात
दवंडी	विधान (Statement) किंवा उतारा
सरपंचांनी दवंडी देण्याची तसदी का घेतली	अप्रत्यक्ष गृहीतक (Implicit assumption): गृहीत धरलेले, लिहिलेले नाही
गावकरी खात्रीने काय समजू शकतो	निष्कर्ष (Conclusion): विधानातून थेट निघतो
चावडीवरच्या अतिशयोक्त गप्पा	अवैध: टोकाचे शब्द, बाहेरचे ज्ञान, मजकुराच्या पलीकडे जाणारे

संकल्पना

गृहीतक (Assumption) म्हणजे विधानाला अर्थ येण्यासाठी बोलणाऱ्याने मानलेली, पण न सांगितलेली गोष्ट. नकार चाचणीने (Negation test) तपासा: हे गृहीतक खोटे असेल, तर विधान निरर्थक ठरेल का? (लोक दवंडी कधीच ऐकत नसतील, तर डफ वाजवणे व्यर्थ — म्हणून “लोक ऐकतात” हे गृहीतक आहे.) जाहिरात असे गृहीत धरते की लोकांना तिने दिलेले वचन हवे आहे; आवाहन असे गृहीत धरते की लोक त्यानुसार कृती करू शकतात.

निष्कर्ष बाहेरची कोणतीही माहिती न वापरता फक्त विधानातूनच निघायला हवा. विधानातच वापरले नसतील, तर टोकाचे शब्द (फक्त, सर्व, नेहमी, कधीच नाही, निश्चितपणे) असलेले निष्कर्ष नाकारा. उताऱ्यावरून काढलेले अनुमान (Inference) म्हणजे दिलेल्या तथ्यांवरून वाजवीपणे काढता येणारी गोष्ट; नवीन तथ्ये जोडणारे, भविष्य सांगणारे, किंवा उताऱ्याच्या पलीकडे सामान्यीकरण करणारे पर्याय चुकीचे.

प्रत्येक पर्याय एकेक करून तपासा, आणि स्वतःची मते बाजूला ठेवा. एखादी गोष्ट खऱ्या आयुष्यात खरी असूनही विधानातून न निघणारी असू शकते. उत्तराचे पर्याय सहसा असे असतात: फक्त I, फक्त II, दोन्ही, एकही नाही (कधी कधी एकतर-किंवा). पर्याय बघण्याआधी I आणि II स्वतंत्रपणे ठरवा.

महत्त्वाचे मुद्दे व सूत्रे

गृहीतक = विधान ज्यावर अवलंबून आहे असा न सांगितलेला विश्वास
नकार चाचणी: गृहीतक खोटे असेल तर विधानाचा हेतूच संपतो का?
निष्कर्ष = फक्त दिलेल्या शब्दांतूनच निघायला हवा
टोकाचे शब्द (फक्त, सर्व, कधीच नाही, नेहमी, सर्वोत्तम) बहुतेक वेळा पर्याय चुकीचा ठरवतात
सल्ला/आवाहन असे गृहीत धरते की सल्ला उपयोगी आहे आणि लोक तो पाळू शकतात
अनुमानाचे प्रश्न: नवी तथ्ये नाहीत, भविष्याचे भाकीत नाही, सामान्यीकरण नाही
खऱ्या जगातले सत्य गैरलागू — फक्त विधान महत्त्वाचे

सोडवलेले उदाहरण

विधान: ग्रामपंचायतीने जाहीर केले, “कावीळ टाळण्यासाठी पावसाळ्यात पिण्याचे पाणी उकळून प्या.” गृहीतके: I. लोक पंचायतीच्या घोषणांकडे लक्ष देतात. II. पाणी उकळल्याने काविळीचा धोका कमी होण्यास मदत होते.

उकल पाहा

गृहीतक I: कोणीच ऐकत नसेल, तर घोषणा निरर्थक ठरेल. म्हणून I अप्रत्यक्षपणे गृहीत आहे.
गृहीतक II: पाणी उकळल्याने काहीच फरक पडत नसेल, तर पंचायतीने तसे सांगितलेच नसते. म्हणून II अप्रत्यक्षपणे गृहीत आहे.
दोन्हींपैकी कोणत्याही गृहीतकात टोकाचा शब्द किंवा बाहेरचे तथ्य नाही.

उत्तर: I आणि II दोन्ही गृहीत आहेत.

परीक्षेसाठी झटपट युक्ती

प्रत्येक गृहीतक किंवा निष्कर्षातील टोकाचा शब्द (फक्त, सर्व, कधीच नाही, नेहमी, सर्वोत्तम, निश्चितपणे) पटकन अधोरेखित करा. विधानात तेवढी ताकद नसेल, तर तो पर्याय लगेच अवैध ठरवा — यामुळे जवळजवळ अर्धे पर्याय काही सेकंदांत निकाली निघतात.

नेहमीच्या चुका

खऱ्या आयुष्यात खरा आहे म्हणून एखादा पर्याय निवडणे. प्रश्न फक्त एवढाच आहे की तो विधानातून निघतो का (किंवा विधानाने गृहीत धरला आहे का).
विधानाच्याच पुनर्कथनाला गृहीतक समजणे. गृहीतक न सांगितलेले असते; विधानात आधीच लिहिलेली गोष्ट गृहीतक नसते.

सराव · प्रश्न परीक्षेप्रमाणे इंग्रजीत, खाली मराठी अर्थ · उत्तर तपासण्यासाठी पर्याय निवडा

Q1. Statement: “Drink Shakti tea — stay fresh and full of energy all day!” — an advertisement. Assumptions: I. People want to feel fresh and energetic. II. No other tea gives any energy at all.

विधान: “शक्ती चहा प्या — दिवसभर ताजेतवाने आणि उत्साही राहा!” — एक जाहिरात. गृहीतके: I. लोकांना ताजेतवाने आणि उत्साही वाटावे असे वाटते. II. इतर कोणत्याही चहातून अजिबात ऊर्जा मिळत नाही.

Q2. Statement: The college has made 75% attendance compulsory for appearing in the final examination. Conclusions: I. Students with less than 75% attendance will not be allowed to appear for the final examination. II. Every student with 75% or more attendance will pass the final examination.

विधान: अंतिम परीक्षेला बसण्यासाठी कॉलेजने 75% उपस्थिती सक्तीची केली आहे. निष्कर्ष: I. 75% पेक्षा कमी उपस्थिती असलेल्या विद्यार्थ्यांना अंतिम परीक्षेला बसू दिले जाणार नाही. II. 75% किंवा जास्त उपस्थिती असलेला प्रत्येक विद्यार्थी अंतिम परीक्षेत उत्तीर्ण होईल.

Q3. Passage: In Shivapur village, most farmers grow soybean in the kharif season. This year the monsoon arrived three weeks late. Because of the delay, the first sowing failed for many farmers, and they had to buy fresh seed and sow a second time. Which of the following can be inferred from the passage?

उतारा: शिवपूर गावातील बहुतेक शेतकरी खरीप हंगामात सोयाबीन घेतात. यंदा पाऊस तीन आठवडे उशिरा आला. या उशिरामुळे अनेक शेतकऱ्यांची पहिली पेरणी वाया गेली, आणि त्यांना नवीन बियाणे विकत घेऊन दुबार पेरणी करावी लागली. खालीलपैकी कोणते अनुमान उताऱ्यावरून काढता येते?

Q4. Statement: The municipal corporation has added 50 new buses on the city’s busiest routes. Assumptions: I. The new buses will completely end traffic jams in the city. II. All people in the city travel only by bus.

विधान: महानगरपालिकेने शहरातील सर्वात गर्दीच्या मार्गांवर 50 नवीन बस वाढवल्या आहेत. गृहीतके: I. नवीन बसमुळे शहरातील वाहतूक कोंडी पूर्णपणे संपेल. II. शहरातील सर्व लोक फक्त बसनेच प्रवास करतात.

↑ विषयसूचीकडे परत

तर्कशक्ती · शाब्दिक तर्क · विषय 11 / 14

सादृश्य व वर्गीकरण (विसंगत घटक ओळखा)

Analogy & Classification (Odd One Out)

पूर्ण झाले म्हणून खूण करा

असं समजा…

किराणा दुकानातील कपाटे

तुमच्या गल्लीतल्या किराणा दुकानात जा. काकांनी कपाटे एका नियमाने लावलेली असतात: एका कप्प्यात धान्य (तांदूळ, गहू, ज्वारी, बाजरी), दुसऱ्यात तेल, आणि साबण-डिटर्जंट खाण्याच्या वस्तूंपासून लांब. कोणी ज्वारीशेजारी धुण्याच्या पावडरचा पुडा ठेवला, तर तुमच्या लगेच लक्षात येते — तो कप्प्याचा नियम मोडतो. काका एका पद्धतीनेही विकतात: साखर किलोने, तेल लिटरने, अंडी डझनाने. “साखरेला किलो, तसे तेलाला काय?” असे विचारले तर उत्तर लिटर, कारण दोन्ही बाजूंना संबंध (वस्तू → ती ज्या एककात विकली जाते ते) तोच असायला हवा. सादृश्य आणि विसंगत घटकाचे प्रश्न तुम्हाला काकांचा नियम वाचता येतो का, हेच तपासतात.

रोजच्या जीवनात	परीक्षेच्या विषयात
कप्प्यावरचे लेबल	गटातील सर्वांचा समान गुणधर्म
ज्वारीशेजारी ठेवलेली धुण्याची पावडर	विसंगत घटक (Odd one out): समान गुणधर्म मोडतो
साखर → किलो, तेल → लिटर	सादृश्य A : B :: C : D — दोन्ही बाजूंना तोच संबंध
कप्प्यातली प्रत्येक वस्तू तपासणे	निवडण्याआधी तुमचा नियम प्रत्येक पर्यायावर तपासा

संकल्पना

सादृश्यात (Analogy) (A : B :: C : ?) आधी A आणि B यांतील संबंध एका वाक्यात सांगा: “पेनाने लिहितात.” मग नेमके तेच वाक्य C ला लावा: “सुरीने … कापतात.” नेहमीचे संबंध: साधन–उपयोग, कामगार–कामाचे ठिकाण, वस्तू–एकक, भाग–संपूर्ण, कारण–परिणाम, समानार्थी, विरुद्धार्थी, प्राणी–पिल्लू, आणि संख्या नियम (n², n³, n² + 1, ×2 + 1).

वर्गीकरणात (Classification) (विसंगत घटक ओळखा) एक सोडून बाकी सगळ्या पर्यायांत असलेला गुणधर्म शोधा. संख्यांसाठी तपासा: मूळ संख्या आहे की नाही, सम/विषम, पूर्ण वर्ग किंवा घन, एखाद्या संख्येने भाग जातो का, अंकांची बेरीज. अक्षरगटांसाठी स्थानांत रूपांतर करून अंतरे तपासा (लागोपाठची अक्षरे, +2 अंतर, स्वर). शब्दांसाठी प्रकार तपासा (धान्ये, फळे, वाद्ये), आणि दोन उमेदवार दिसले तर अधिक बारकाईने पाहा.

एकापेक्षा जास्त नियम लागू होत असतील, तर सर्वात नेमका आणि पूर्ण नियम निवडा — जो नेमका एकच पर्याय वेगळा करतो. दोन पर्याय विसंगत ठरवणारा नियम चुकीचा.

महत्त्वाचे मुद्दे व सूत्रे

A–B संबंध एका वाक्यात सांगा, आणि तेच वाक्य C साठी वापरा
नेहमीचे शब्दसंबंध: साधन–उपयोग, कामगार–कामाचे ठिकाण, वस्तू–एकक, भाग–संपूर्ण, समानार्थी/विरुद्धार्थी
संख्या सादृश्य: n², n³, n² ± 1, n³ ± n, n × (n + 1) तपासा
संख्यांतील विसंगत घटक: मूळ संख्या, वर्ग, घन, सम/विषम, अंकांची बेरीज
अक्षरगट: स्थानांत रूपांतर करून अंतरांची तुलना करा
चांगला नियम नेमकी एकच वस्तू बाहेर ठेवतो
क्रम पाळा: A : B :: C : D, B : A नव्हे

सोडवलेले उदाहरण

विसंगत पद ओळखा: 27, 64, 125, 144, 216

उकल पाहा

समान गुणधर्म शोधा. 27 = 3³, 64 = 4³, 125 = 5³, 216 = 6³ — सगळे घन.
144 = 12² हा पूर्ण वर्ग आहे, पण पूर्ण घन नाही.
नियम फक्त एकच पद विसंगत ठरवतो का ते तपासा: हो, “पूर्ण घन” या नियमात फक्त 144 बसत नाही.

उत्तर: 144

परीक्षेसाठी झटपट युक्ती

संख्या सादृश्यात आकारातली उडी बघा: 7 चे साधारण 49 झाले तर 7² ± काहीतरी तपासा; साधारण 343 झाले तर 7³ तपासा. मग निवडण्याआधी दुसऱ्या जोडीने खात्री करा.

नेहमीच्या चुका

संबंध उलटा करणे: “Pen : Write” म्हणजे वस्तू → उपयोग. उपयोग → वस्तू अशा जोडीने उत्तर देऊ नका.
दोन पर्याय विसंगत ठरवणारा नियम निवडणे. मागे जा आणि अधिक नेमका गुणधर्म शोधा.

सराव · प्रश्न परीक्षेप्रमाणे इंग्रजीत, खाली मराठी अर्थ · उत्तर तपासण्यासाठी पर्याय निवडा

Q1. Pen : Write :: Knife : ?

Pen (पेन) : Write (लिहिणे) :: Knife (सुरी) : ?

Q2. 7 : 50 :: 9 : ?

7 : 50 :: 9 : ?

Q3. Find the odd one out: BCD, FGH, JKL, MNP

विसंगत पद ओळखा: BCD, FGH, JKL, MNP

Q4. Find the odd one out: Jowar, Bajra, Wheat, Cotton

विसंगत घटक ओळखा: ज्वारी (Jowar), बाजरी (Bajra), गहू (Wheat), कापूस (Cotton)

↑ विषयसूचीकडे परत

तर्कशक्ती · विश्लेषणात्मक कोडी · विषय 12 / 14

दिनदर्शिका व घड्याळ

Calendars & Clocks

पूर्ण झाले म्हणून खूण करा

असं समजा…

गावचा आठवडी बाजार

महाराष्ट्रातल्या अनेक गावांत आठवडी बाजार ठरलेल्या वारी भरतो, समजा मंगळवारी. आज बाजाराचा दिवस असेल, तर 7 दिवसांनी, 14 दिवसांनी, 70 दिवसांनी — पुन्हा मंगळवारच. पूर्ण आठवड्यांनंतर उरलेले दिवसच फक्त वार बदलतात: 10 दिवसांनी म्हणजे 1 पूर्ण आठवडा + 3 जादा दिवस, म्हणून शुक्रवार. साधे वर्ष म्हणजे 52 आठवडे + 1 जादा दिवस, म्हणून पुढच्या वर्षी बाजाराची तारीख एक वार पुढे येते; लीप वर्षात 2 जादा दिवस असतात. घड्याळ म्हणजे गुऱ्हाळातल्या एकाच गोल वाटेवर फिरणाऱ्या दोन बैलगाड्या: मिनिट-काट्याची गाडी मिनिटाला 6° धावते, तास-काट्याची गाडी मिनिटाला फक्त 0.5°, म्हणून वेगवान गाडी दर मिनिटाला 5.5° पुढे जाते.

रोजच्या जीवनात	परीक्षेच्या विषयात
बाजाराचा वार दर 7 दिवसांनी परत येतो	आठवड्याचे वार 7 च्या चक्रात पुन्हा येतात
पूर्ण आठवड्यांनंतर उरलेले दिवस	विषम दिवस (Odd days) = दिवसांची संख्या mod 7
साधे वर्ष = 52 आठवडे + 1 दिवस; लीप वर्ष + 2 दिवस	वर्षानंतरचा बदल: +1 वार (साधे), +2 (लीप)
वेगवान गाडी दर मिनिटाला हळू गाडीपेक्षा पुढे जाते	मिनिट काटा तास काट्यापेक्षा दर मिनिटाला 5.5° पुढे जातो
वेगवान गाडी हळू गाडीला गाठते	काटे एकमेकांवर येणे: H नंतर M = 60H/11 मिनिटे

संकल्पना

दिनदर्शिकेत (Calendar) विषम दिवस म्हणजे पूर्ण आठवडे काढून टाकल्यावर उरलेले दिवस. साधे वर्ष = 1 विषम दिवस, लीप वर्ष = 2 विषम दिवस. 100 वर्षे = 5 विषम दिवस, 200 वर्षे = 3, 300 वर्षे = 1, 400 वर्षे = 0. महिने: 31 दिवसांचा महिना = 3 विषम दिवस, 30 दिवसांचा = 2, फेब्रुवारी = 0 (लीप वर्षात 1). त्या तारखेपर्यंतचे एकूण विषम दिवस मोजा, mod 7 घ्या, आणि 0 = रविवार, 1 = सोमवार … 6 = शनिवार असे वाचा.

एखाद्या वर्षाला 4 ने भाग जात असेल तर ते लीप वर्ष (Leap year), पण शतक वर्षांना (century years) 400 ने भाग जायला हवा (2000 हो, 1900 नाही). एका वर्षाच्या एखाद्या तारखेपासून पुढच्या वर्षी त्याच तारखेपर्यंत जाताना, 29 फेब्रुवारी मध्ये येत असेल तरच वार 2 ने सरकतो. ज्या दोन वर्षांची सुरुवात एकाच वाराने होते आणि दोन्ही लीप किंवा दोन्ही साधी असतात, त्यांची दिनदर्शिका सारखीच असते.

घड्याळ (Clock): मिनिट काटा मिनिटाला 6° आणि तास काटा मिनिटाला 0.5° फिरतो. H:M वाजता त्यांच्यातील कोन |30H − 5.5M|; हा 180° पेक्षा जास्त आला तर 360° मधून वजा करा. काटे H नंतर 60H/11 मिनिटांनी एकमेकांवर येतात, आणि दिवसातून 22 वेळा एकत्र येतात. घड्याळाच्या आरशातील प्रतिमेच्या वेळा अशाब्दिक (non-verbal) प्रकरणात दिल्या आहेत.

महत्त्वाचे मुद्दे व सूत्रे

विषम दिवसांचा कोड: 0 रवि, 1 सोम, 2 मंगळ, 3 बुध, 4 गुरु, 5 शुक्र, 6 शनि
साधे वर्ष = 1 विषम दिवस; लीप वर्ष = 2 विषम दिवस
100 वर्षे = 5, 200 वर्षे = 3, 300 वर्षे = 1, 400 वर्षे = 0 विषम दिवस
लीप वर्ष: ÷ 4, पण शतक वर्षांना ÷ 400 हवा
कोन = |30H − 5.5M| (> 180° आल्यास 360 − कोन वापरा)
काटे H नंतर 60H/11 मिनिटांनी एकत्र; दिवसातून 22 वेळा
काटे दिवसातून 44 वेळा काटकोनात; सरळ रेषेत (0° किंवा 180°) दिवसातून 44 वेळा

सोडवलेले उदाहरण

15 ऑगस्ट 1947 रोजी कोणता वार होता?

उकल पाहा

15 ऑगस्ट 1947 = 1946 पूर्ण वर्षे + 1947 मधील 1 जानेवारी ते 15 ऑगस्ट.
1600 वर्षे → 0 विषम दिवस. 300 वर्षे (1601–1900) → 1 विषम दिवस.
46 वर्षांत (1901–1946) 11 लीप वर्षे आणि 35 साधी: 11 × 2 + 35 = 57 → 57 mod 7 = 1 विषम दिवस.
1947 मध्ये 15 ऑगस्टपर्यंत: जाने 3 + फेब्रु 0 + मार्च 3 + एप्रिल 2 + मे 3 + जून 2 + जुलै 3 + 15 दिवस (1) = 17 → 3 विषम दिवस.
एकूण = 0 + 1 + 1 + 3 = 5 → शुक्रवार.

उत्तर: शुक्रवार (Friday)

परीक्षेसाठी झटपट युक्ती

“पुढच्या वर्षी तीच तारीख” अशा प्रश्नांत दिवस मोजू नका. फक्त विचारा: दोन तारखांच्या मध्ये 29 फेब्रुवारी येतो का? हो → +2 वार; नाही → +1 वार.

नेहमीच्या चुका

1900 किंवा 2100 ला लीप वर्ष समजणे. शतक वर्षाला 400 ने भाग जात असेल तरच ते लीप वर्ष.
कालावधीत 29 फेब्रुवारी प्रत्यक्ष येत नसताना लीप वर्षासाठी 2 दिवस मिळवणे (उदा. 1 मार्च 2024 ते 1 मार्च 2025 फक्त +1).

सराव · प्रश्न परीक्षेप्रमाणे इंग्रजीत, खाली मराठी अर्थ · उत्तर तपासण्यासाठी पर्याय निवडा

Q1. If 26 January 2024 was a Friday, what day of the week was 26 January 2025?

26 जानेवारी 2024 रोजी शुक्रवार होता, तर 26 जानेवारी 2025 रोजी कोणता वार होता?

Q2. Which of the following years will have the same calendar as 2023?

खालीलपैकी कोणत्या वर्षाची दिनदर्शिका 2023 सारखीच असेल?

Q3. What is the angle between the hour hand and the minute hand of a clock at 3:40?

3:40 वाजता घड्याळाच्या तास काटा आणि मिनिट काटा यांच्यातील कोन किती?

Q4. At what time between 4 and 5 o’clock are the hands of a clock together?

4 आणि 5 वाजण्याच्या दरम्यान कोणत्या वेळी घड्याळाचे काटे एकमेकांवर येतात?

↑ विषयसूचीकडे परत

तर्कशक्ती · तार्किक निष्कर्ष · विषय 13 / 14

वेन आकृती व माहितीची पर्याप्तता

Venn Diagrams & Data Sufficiency

पूर्ण झाले म्हणून खूण करा

असं समजा…

क्रीडा दिनाच्या संघ याद्या: कबड्डी आणि खो-खो

शाळेच्या क्रीडा दिनाला पीटी सरांकडे दोन याद्या असतात: कबड्डी संघ आणि खो-खो संघ. काही विद्यार्थी दोन्ही खेळ खेळतात. टी-शर्टची ऑर्डर देताना सरांनी नुसत्या दोन्ही याद्या बेरजेने जोडल्या, तर दोन्ही खेळणाऱ्यांना दोन-दोन टी-शर्ट मिळतील — म्हणून ते दोन्ही याद्यांत असलेले विद्यार्थी वजा करतात. एकमेकांवर येणारी दोन वर्तुळे काढली की हे स्पष्ट दिसते: फक्त-कबड्डी, दोन्ही, फक्त-खो-खो, आणि वर्तुळांच्या बाहेर कोणताच खेळ न खेळणारे विद्यार्थी. मग मुख्याध्यापक विचारतात, “सर, फक्त खो-खो किती जण खेळतात ते सांगू शकाल का?” सर हातातली चिठ्ठी बघतात आणि म्हणतात “हो, ही चिठ्ठी पुरेशी आहे” किंवा “नाही, मला दुसरी यादीही लागेल” — त्यांना प्रत्यक्ष आकडा काढावा लागत नाही. हीच माहितीची पर्याप्तता.

रोजच्या जीवनात	परीक्षेच्या विषयात
कबड्डीची यादी आणि खो-खोची यादी	वेन आकृतीतील दोन वर्तुळे
दोन्ही याद्यांत असलेले विद्यार्थी	सामायिक भाग, छेद (Intersection), एकदाच मोजायचा
लागणारे टी-शर्ट = कबड्डी + खो-खो − दोन्ही	n(A ∪ B) = n(A) + n(B) − n(A ∩ B)
कोणताच खेळ न खेळणारे विद्यार्थी	दोन्ही वर्तुळांबाहेरचा भाग = एकूण − n(A ∪ B)
“उत्तर द्यायला ही चिठ्ठी पुरेशी आहे का?”	माहितीची पर्याप्तता (Data sufficiency): माहिती पुरेशी आहे का ते ठरवा, गणित पूर्ण करू नका

संकल्पना

वेन आकृतीने मोजणी (Venn diagram counting): दोन गटांसाठी n(A ∪ B) = n(A) + n(B) − n(A ∩ B). फक्त A = n(A) − n(A ∩ B). एकही नाही = एकूण − n(A ∪ B). तीन गटांसाठी आकृती मध्यापासून (तिन्हींत असलेले) बाहेरच्या दिशेने भरा, आणि भरत जाताना वजा करत जा. वेन संबंधांचे प्रश्न विचारतात की तीन शब्दांना कोणते चित्र बसते: एक वर्ग पूर्णपणे दुसऱ्याचा भाग असेल (माता या स्त्रिया आहेत), तर तो आत काढा; दोन वर्गांत समान सदस्य असू शकत असतील (स्त्रिया आणि डॉक्टर), तर ती वर्तुळे एकमेकांवर काढा; असू शकत नसतील (पुरुष आणि स्त्रिया), तर ती वेगळी ठेवा.

माहितीची पर्याप्तता: एका प्रश्नापाठोपाठ दोन विधाने दिलेली असतात. आधी विधान I एकटे तपासा, मग विधान II एकटे, आणि दोन्ही अपुरी ठरली तरच ती एकत्र तपासा. अंतिम किंमत काढायची गरज नाही — फक्त एकच, निश्चित उत्तर शक्य आहे का ते पाहायचे. हो/नाही प्रश्नासाठी माहिती नेहमी तेच उत्तर देत असेल (नेहमी हो, किंवा नेहमी नाही), तर ती पुरेशी.

प्रमाणित उत्तरे: फक्त I पुरेसे; फक्त II पुरेसे; प्रत्येक एकटे पुरेसे; दोन्ही एकत्र लागतात; दोन्ही एकत्रही पुरेसे नाहीत. विधान II एकटे तपासताना विधान I मधली माहिती कधीच वापरू नका.

महत्त्वाचे मुद्दे व सूत्रे

n(A ∪ B) = n(A) + n(B) − n(A ∩ B)
फक्त A = n(A) − n(A ∩ B); एकही नाही = एकूण − n(A ∪ B)
तीन संच: n(A ∪ B ∪ C) = A + B + C − (AB + BC + CA) + ABC
उपसंच (माता ⊂ स्त्रिया): वर्तुळ आत; समान सदस्य शक्य: छेदणारी वर्तुळे; समान सदस्य अशक्य: वेगळी वर्तुळे
DS चा क्रम: फक्त I → फक्त II → एकत्र
पुरेसे = नेमके एकच निश्चित उत्तर (हो/नाही साठी: निश्चित हो किंवा निश्चित नाही)
DS मध्ये अंतिम किंमत काढू नका — काढता येईल का एवढेच ठरवा

सोडवलेले उदाहरण

50 विद्यार्थ्यांच्या वर्गात 30 जण कबड्डी, 25 जण खो-खो आणि 10 जण दोन्ही खेळतात. किती विद्यार्थी एकही खेळ खेळत नाहीत?

उकल पाहा

किमान एक खेळ खेळणारे विद्यार्थी = 30 + 25 − 10 = 45.
एकही नाही = एकूण − किमान एक = 50 − 45 = 5.
भागांनी पडताळा: फक्त कबड्डी 20, दोन्ही 10, फक्त खो-खो 15, एकही नाही 5 → 20 + 10 + 15 + 5 = 50 ✓.

उत्तर: 5 विद्यार्थी

परीक्षेसाठी झटपट युक्ती

DS मध्ये दोन विधाने त्याच दोन अज्ञातांमध्ये प्रत्येकी एक समीकरण देत असतील, तर “एकत्र” सहसा पुरेसे असते — पण आधी तपासा की दोन्ही समीकरणे म्हणजे एकच समीकरण दोनदा लिहिलेले तर नाही.

नेहमीच्या चुका

सामायिक भाग वजा न करता दोन गट थेट मिळवणे, ज्यामुळे “दोन्ही” खेळणारे विद्यार्थी दोनदा मोजले जातात.
DS मध्ये विधान II “एकटे” तपासताना विधान I मधली माहिती वापरणे.

सराव · प्रश्न परीक्षेप्रमाणे इंग्रजीत, खाली मराठी अर्थ · उत्तर तपासण्यासाठी पर्याय निवडा

Q1. In a group of 60 people, 35 speak Marathi, 30 speak Hindi and 12 speak both. How many speak only Hindi?

60 लोकांच्या गटात 35 जण मराठी, 30 जण हिंदी आणि 12 जण दोन्ही भाषा बोलतात. किती जण फक्त हिंदी बोलतात?

Q2. Which description correctly shows the relationship between Mothers, Women and Doctors?

माता (Mothers), स्त्रिया (Women) आणि डॉक्टर (Doctors) यांच्यातील संबंध कोणते वर्णन योग्य प्रकारे दाखवते?

Q3. What is Rahul’s age? I. Rahul is 4 years older than Sohan. II. Sohan’s age is half of Rahul’s age.

राहुलचे वय किती? I. राहुल सोहनपेक्षा 4 वर्षांनी मोठा आहे. II. सोहनचे वय राहुलच्या वयाच्या निम्मे आहे.

Q4. x is a positive integer. Is x even? I. x² is even. II. x + 5 is odd.

x हा धन पूर्णांक आहे. x सम आहे का? I. x² सम आहे. II. x + 5 विषम आहे.

↑ विषयसूचीकडे परत

तर्कशक्ती · अशाब्दिक (आकृती) तर्क · विषय 14 / 14

अशाब्दिक तर्क — आरशातील प्रतिमा/जलप्रतिमा, कागद घडी, फासा व आकृती मालिका

Non-verbal — Mirror/Water Images, Paper Folding, Dice & Figure Series

पूर्ण झाले म्हणून खूण करा

असं समजा…

न्हाव्याच्या दुकानातला आरसा आणि गावचे तळे

न्हाव्याच्या दुकानात खुर्चीत बसा आणि मोठ्या आरशात बघा. तुमच्या मागच्या भिंतीवरचे घड्याळ विचित्र दिसते: आकडे डावीकडून उजवीकडे उलटे दिसतात, आणि खरी वेळ 4:20 असताना आरशात 7:40 दिसल्यासारखी वाटते. तुमचा डावा हात उजवीकडे दिसतो, पण डोके मात्र वरच असते. आता गावच्या तळ्यात पडलेले देवळाचे प्रतिबिंब बघा: शिखराचे टोक पाण्यात खाली दिसते, पण डावी-उजवी बाजू तशीच राहते. पतंग किंवा रांगोळीचा स्टेन्सिल कापण्यासाठी कागदाची घडी करा, आणि उघडल्यावर तुम्ही केलेला प्रत्येक काप घडीच्या दोन्ही बाजूंना दिसतो. आणि लुडोच्या खेळात फासा कधीच दोन समोरासमोरच्या बाजू एकत्र दाखवत नाही. अशाब्दिक तर्क म्हणजे रोजच्या आयुष्यातल्या याच उलटापालटी, घड्या आणि फासे, फक्त डोक्यात करायचे.

रोजच्या जीवनात	परीक्षेच्या विषयात
न्हाव्याच्या दुकानातला भिंतीवरचा आरसा	आरशातील प्रतिमा (Mirror image): डावी ↔ उजवी, वर-खाली तसेच
न्हाव्याच्या आरशात दिसणारे घड्याळ	आरशातील वेळ = 11:60 − खरी वेळ (12:00 − वेळ)
तळ्यात पडलेले देवळाचे प्रतिबिंब	जलप्रतिमा (Water image): वर ↔ खाली, डावी-उजवी तशीच
घडी घातलेल्या रांगोळी स्टेन्सिलवरचा काप	कागद घडी (Paper folding): प्रत्येक काप प्रत्येक घडीपलीकडे उमटतो
लुडोचा फासा समोरासमोरच्या दोन बाजू कधीच एकत्र दाखवत नाही	एकत्र दिसणाऱ्या बाजू शेजारच्या; न दिसणारी ती समोरची

संकल्पना

आरशातील प्रतिमा (आरसा डावीकडे किंवा उजवीकडे ठेवलेला): डावी-उजवी बाजू अदलाबदल होते, शब्दातील अक्षरांचा क्रम उलटतो, आणि प्रत्येक अक्षर उलटते. उभ्या आरशात तशीच दिसणारी अक्षरे: A, H, I, M, O, T, U, V, W, X, Y. जलप्रतिमा (आरसा खाली): वर-खाली अदलाबदल होते. पाण्यात न बदलणारी अक्षरे: B, C, D, E, H, I, K, O, X. घड्याळासाठी आरशातील वेळ = 11:60 − खरी वेळ (वेळ 11:00 नंतरची असेल तर 23:60 − वेळ वापरा).

कागद घडी: प्रत्येक घडीने थरांची संख्या दुप्पट होते. k थरांतून एकदा छिद्र पाडले, तर उघडल्यावर k छिद्रे दिसतात (छिद्र घडीच्या रेषेवर नसेल तर). घडी घातलेल्या कडेवर केलेला काप उघडल्यावर घडीभोवती सममित (symmetric) आकार बनतो — घडीवर कापलेले अर्धवर्तुळ पूर्ण वर्तुळ बनते.

फासा (Dice): एका दृश्यात दिसणाऱ्या तिन्ही बाजू एकमेकींच्या शेजारच्या असतात, म्हणून त्यांपैकी कोणतीच दुसरीच्या समोर नसते. एखाद्या संख्येच्या सगळ्या शेजारच्या बाजू गोळा करा; उरलेली बाजू तिच्या समोर असते. प्रमाणित फाशावर समोरासमोरच्या बाजूंची बेरीज 7 (1–6, 2–5, 3–4). आकृती मालिका (Figure series): ठरावीक फिरणे (घड्याळाच्या दिशेने 45° किंवा 90°), प्रत्येक पायरीला एखादा घटक वाढणे किंवा कमी होणे, किंवा एखादा आकार एकेक कोपरा पुढे सरकणे — असे नियम शोधा.

महत्त्वाचे मुद्दे व सूत्रे

आरसा (उभा): डावी ↔ उजवी; पाणी (आडवे): वर ↔ खाली
आरशातील घड्याळाची वेळ = 11:60 − खरी वेळ
उभ्या आरशात सममित अक्षरे: A H I M O T U V W X Y
पाण्यात सममित अक्षरे: B C D E H I K O X
n घड्या → 2ⁿ थर → एका छिद्राने 2ⁿ छिद्रे (घडीवर नसल्यास)
फाशावर एकत्र दिसणाऱ्या बाजू शेजारच्या, कधीच समोरासमोर नाहीत
प्रमाणित फासा: समोरासमोरच्या बाजूंची बेरीज 7
आकृती मालिका: आधी फिरण्याचा कोन आणि दिशा तपासा

सोडवलेले उदाहरण

भिंतीवरचे घड्याळ 4:20 दाखवते. सपाट आरशातील त्याची प्रतिमा कोणती वेळ दाखवेल?

उकल पाहा

घड्याळाच्या आरशातील प्रतिमेसाठी वेळ 11:60 मधून वजा करा (म्हणजेच 12:00 मधून).
11:60 − 4:20 → तास 11 − 4 = 7, मिनिटे 60 − 20 = 40.
पडताळा: खऱ्या 4:20 ला तास काटा 4 च्या थोडा पुढे (उजव्या बाजूला) असतो; आरसा त्याला 7 आणि 8 च्या मध्ये (डाव्या बाजूला) नेतो, आणि मिनिट काटा 4 वरून 8 वर — म्हणजे 7:40.

उत्तर: 7:40

परीक्षेसाठी झटपट युक्ती

आरशातील घड्याळासाठी फक्त दोन्ही वेळांची बेरीज 12:00 करा. खरी 2:35 + आरशातील ? = 12:00 → आरशातील 9:25. अशा प्रकारे कोणताही पर्याय दोन सेकंदांत पडताळता येतो.

नेहमीच्या चुका

आरशातील प्रतिमा आणि जलप्रतिमा यांत गोंधळ: बाजूला ठेवलेला आरसा डावी-उजवी उलटतो, खालचे पाणी वर-खाली उलटते.
फाशाच्या प्रश्नांत दृश्ये फासा प्रमाणित नाही असे दाखवत असतानाही तो प्रमाणित (समोरासमोरच्या बाजूंची बेरीज 7) गृहीत धरणे. नेहमी आधी दृश्ये वापरा.

सराव · प्रश्न परीक्षेप्रमाणे इंग्रजीत, खाली मराठी अर्थ · उत्तर तपासण्यासाठी पर्याय निवडा

Q1. A mirror is held vertically to the right of each word. Which word looks exactly the same in the mirror?

प्रत्येक शब्दाच्या उजवीकडे आरसा उभा धरला आहे. कोणता शब्द आरशात अगदी तसाच दिसतो?

Q2. Two views of the same dice: in View 1 the visible faces are 2, 3 and 4; in View 2 the visible faces are 2, 5 and 6. Which number is opposite 2?

एकाच फाशाची दोन दृश्ये: दृश्य 1 मध्ये 2, 3 आणि 4 या बाजू दिसतात; दृश्य 2 मध्ये 2, 5 आणि 6 या बाजू दिसतात. 2 च्या समोर कोणती संख्या आहे?

Q3. A square sheet of paper is folded once along its vertical centre line. A semicircle is cut out from the middle of the folded edge. What will you see when the paper is opened?

कागदाचा एक चौरस तुकडा त्याच्या उभ्या मध्यरेषेवर एकदा दुमडला आहे. दुमडलेल्या कडेच्या मध्यातून एक अर्धवर्तुळ कापले आहे. कागद उघडल्यावर काय दिसेल?

Q4. An arrow changes in a fixed way: ↑, ↗, →, ↘, ↓, ? What comes next?

एक बाण ठरावीक पद्धतीने बदलतो: ↑, ↗, →, ↘, ↓, ? पुढे काय येईल?

↑ विषयसूचीकडे परत